Multi-indice et espaces de Sobolev

Rouliane

Bonjour,

J'ai copié mon message pour le mettre en latex, voici le contenu :

corentin

Non, c'est ça.
La "valeur absolue" du multi indice, c'est juste le nombre de fois qu'on dérive, sans tenir compte des variables par auxquelles on dérive.

Rouliane

d'accord, merci

Remarque0

C'est presque ça sauf qu'il ne s'agit a priori que de distributions, dont on demande qu'elles soient des fonctions de L². Il te manque l'ordre m=0, càd v € L² et les deux dernières dérivées partielles de ta liste sont égales.

corentin

Oups, oui oui oui, j'avais pas vu qu'il manquait l'ordre 0.

Rouliane

Oui, en fait j'ai mal noté, c'est { v € L² \ .... }, mais merci d'avoir précisé.

Par contre, pourquoi les 2 dernières sont égales ?

Remarque0

Parce que c'est toujours vrai pour n'importe quelle distribution : c'est dual de la propriété analogue pour des fonctions C infini à support compact.

Rouliane

ah oui c'est vrai, merci !

Rouliane

Il y a quelque chose d'autre que je me demande : Est-ce qu'on peut dire que les fonctions de H₀¹ sont à support compact (cet espace est la fermeture de D dans H¹ ) ?

corentin

Dans l'absolu, la réponse est non, mais on peut ergoter en disant que ça dépend de leur domaine de définition:
si le domaine est de fermeture compacte, on sait qu'en les prolongeant par 0 en dehors, ça fait des fonctions dans H^1_0(\R^n), en ce sens elles sont à support compact,
contre exemple 1/(1+x^2) est bien dans H^1_0(\R), mais n'est évidemment pas à support compact.

edit:
Et si la question est "sont elles à support compact relativement à leur domaine", c'est non, contre exemple simple: sur un intervalle I, la fonction d(x,I^c) est dans H^1_0 mais évidemment pas à support compact dans I.

Rouliane

merci pour ces précisions, c'est très clair.

Remarque0

Une autre façon de comprendre les choses, c'est que si H₀¹ est bien l'adhérence de D dans H¹, la topologie de H¹ ne contrôle absolument pas le support des fonctions. Ces supports peuvent donc parfaitement grossir jusqu'à "remplir" le domaine entier à la limite, ce qui est d'ailleurs le cas générique. Le seul souvenir qui reste des supports compacts, c'est que la fonction limite est "nulle au bord". Pour donner un sens précis à cette dernière phrase, il faut un minimum de régularité sur l'ouvert et introduire l'application trace, mais tu n'as peut-être pas encore abordé ces questions.

Rouliane

Effectivement, mais je vais l'aborder d'ici peu ( ça n'a pas l'air facile du tout d'ailleurs )

Merci !

Rouliane

Re,

Je suis en train de voir la démo de l'inégalité de Poincaré, et ce qui me gène c'est qu'on la montre pour les fonctions de D. Pourquoi est-ce que cela suffit ?

egoroff

Parce que l'ensemble des fonctions qui la satisfont est un fermé de H ?

Remarque0

Plus explicitement, on l'établit pour les fonctions de D pour lesquels on peut écrire qu'une fonction est l'intégrale de sa dérivée sur un segment sans avoir d'états d'âme. Une fois qu'elle est établie sur D, on note que les deux membres de l'inégalité sont continus pour la topologie de H¹. Ceci établit donc l'inégalité sur l'adhérence de D dans H¹, cad H¹₀.

Rouliane

Merci à vous !

je vous avoue que j'ai pas tout compris

- comment montre-t-on la continuité des 2 membres ( la continuité d'une norme je vois pas ce que c'est ?? )

- Dans mon cours j'ai rien sur la topologie de H1 : quelle est-elle ?

- Pourquoi la continuité des 2 membres implique l'inégalité sur l'adhérence ?

Désolé pour tout ces questions qui doivent vous paraitre évidentes....

corentin

Ca parait évident parce c'est une méthode classique: pour prouver un truc, on fait des calculs formels sur des fonctions assez régulières, une fois l'inégalité prouvée sur cette classe de fonctions, on dit "oui, mais en fait ça reste vrai pour telles fonctions par densité".
Par exemple, pour Poincaré, tu trouves une constante C telle que pour tout u dans C_c^{\infty}, || u ||_{H^1}< C || gradient u ||_{L^2},
mais prenant alors v fonction de H^1_0 quelconque, tu as par définition une suite v_n de fonctions C_c^{\infty} qui tendent vers v en norme H^1. En particulier, utilisant les inégalités || v_n ||_{H^1}< C || gradient v_n ||_{L^2}, tu obtiens en passant à la limite || v ||_{H^1}< C || gradient v ||_{L^2}

Rouliane

d'accord, merci j'ai compris !

Par contre, dans l'inégalité de Poincaré, le membre de gauche est en norem L^2 et pas H^1, non ?

corentin

C'est pareil...

egoroff

Pour compléter la réponse de corentin, la topologie sur H^1 est bien évidemment celle définie par la norme H^1 (donc une topologie d'espace vectoriel normé). La continuité d'une norme ça ne devrait pas te poser de problème c'est pareil que pour n'importe quelle autre application de E dans R, ça se vérifie à coups d'epsilon-delta. En fait tu peux très facilement montrer le résultat général suivant (je t'invite à le faire) : soit (E,N) un e.v.n, alors N est 1-lipschitzienne sur E, donc continue. Quant à la norme L^2 du gradient ce n'est pas exactement la norme H^1 mais on voit également sans trop de problèmes que c'est une application continue sur H^1 (et en fait l'inégalité de Poincaré montre que c'est une norme équivalente à celle de H^1 sur H^1_0).

Donc finalement on a deux applications continues F et G définies sur H^1, on s'intéresse à l'ensemble des f de H^1 telles que F(f) <= G(f), on voit que c'est un fermé de H^1 et qu'il contient D, donc il contient n'adhérence de D qui est H^1_0 (ou ti tu préfères tu fais avec des suites comme corentin).

Rouliane

D'accord, merci !

Pour montrer que N est continue sur E, ça résulte de l'inégalité triangulaire, on obtient |N(x)-N(y)| < N(x-y)

Rouliane

le fait que " l''ensemble des f de H^1 telles que F(f) <= G(f), est un fermé de H^1 ", vous voyez ça directement ?

egoroff

Tu peux me tutoyer

Oui ça se voit directement, et même immédiatement, je te laisse réfléchir deux secondes et sinon je te mets la réponse 10 lignes plus bas. Mais de toute façon ce n'est pas ça le plus important je pense, ce sont vraiment des détails, il faut savoir le justifier mais ça ne vaut pas la peine de passer trop de temps dessus.







Si E est un espace topologique, f et g deux fonctions continues sur E à valeurs réelles, alors l'ensemble des x de E tels que f(x) <= g(x) est un fermé de E car c'est (g-f)^{-1}(R_+) !

Rouliane

ah d'accord, j'aurais pas pensé à ça !

Donc en gros, je dis que l'application (g-f) de E dans R- est continue, et donc l'ensemble des x de E tels que f(x) <= g(x) est un fermé de E comme image réciproque d'un fermé ( R-) ?

egoroff

Oui c'est ça (mais bon c'est un peu lourd pour un truc aussi simple !).

Sinon en termes séquentiels la traduction est que si a_n et b_n sont deux suites réelles convergentes, de limites respectves a et b, et si a_n <= b_n pour tout n alors a <= b ; ça doit être plus familier ? Du coup en suivant la démarche de corentin, tu trouves f_n dans D convergeant au sens H^1 vers f, chaque f_n vérifie l'inégalité et il reste à passer à la limite, en expliquant pourquoi ||f_n||_{H^1} tend vers ||f||_{H^1} et pareil pour la norme L^2 du gradient, ce qui revient à notre histoire de continuité.

Enfin en pratique on ne détaille jamais ces trucs-là, sinon on est pas sortis de l'auberge.

Rouliane

merci, c'est clair maintenant

Y'a juste l'histoire du passage de la norme L^2 à la norme H^1 que j'ai pas complètement saisi ( en fait la formule de Poincaré que j'ai c'est :
||v||_L^2 <=C |v|_{1,\Omega} ). Je vais y réfléchir encore un peu

Rouliane

J'ai essayé de comprendre un peu le passage de la norme L^2 à la norme H^1 :

egoroff

Réponse non puisqu'a priori le gradient n'est pas dans H^1 ! Pour cela il faudrait que la fonction soit dans H^2.

En revanche la norme H^1 n'est pas la seule application au monde qui soit continue sur H^1, ici tu va avoir f_n qui tend vers f dans H^1 et tu veux en déduire que la norme L^2 du gradient de f_n tend vers la norme L^2 du gradient de f. Quelle est l'application dont il faut envisager la continuité ?

Rouliane

Oui, j'avais effectivement vu qu'il y avait un problème et que la gradient devait etre dans H^2.

Sinon, il faut la continuité de la norme L^2 ?

egoroff

Pas tout à fait. Il faut la continuité de l'application G qui à f dans H^1 associe la norme L^2 du gradient de f.

Rouliane

on utilise en fait la densité de D dans L^2 ?

Rouliane

ah oui je suis bete c'est le gradient qui intervient, merci !

egoroff

Pas de prob'

Pour montrer la continuité de cette application, c'est plus simple de la voir comme une composée : d'abord on prend l'application G1 qui va de H^1 dans L^2, qui à une fonction associe son gradient, puis l'application G2 de L^2 dans R qui à une fonction associe sa norme L^2. Alors G = G2 o G1. On a déjà vu que G2 était continue, et il est très simple de montrer que G1 est continue puisqu'elle est linéaire.

Rouliane

d'accord, merci !

Cette fois tout est clair

egoroff

Content d'avoir pu t'aider

Rouliane

Pour etre sur de pas dire de betises, pour la continuité de G1, on utilise bien que l'application est linéaire et que ||G1(v)||_L^2 <= ||v||_H^1 donc, par théorème elle est continue sur H^1 ?

egoroff

Oui voilà, on sait que pour montrer qu'un application linéaire L : E --> F est continue il suffit de montrer qu'il existe C telle que pour tout x de E on ait ||L(x)||_F <= ||x||_E. Ce qui est important ici, et tu l'as bien fait, c'est de mettre les bonnes normes dans l'inégalité.

Rouliane

ok, et merci de ta patience

egoroff

Bah c'est normal moi aussi je me suis pris la tête sur les mêmes choses (et je pense qu'on est pas les deux seuls )

Remarque0

Un truc à retenir : u_n->u dans H¹ ssi u_n->u dans L² et nabla u_n->nabla u dans L². C'est évident, mais ça permet d'éviter de se casser la tête avec des compositions d'applications : si u_n->u dans H¹, alors ||u_n||_L²->||u||_L² par la première convergence et ||nabla u_n||_L²->||nabla u||_L² par la deuxième convergence (la norme d'un evn est une application continue de l'evn dans IR). Donc on passe immédiatement à la limite dans l'inégalité de Poincaré déjà démontrée pour des fonctions de D.

Bon ok, c'est de la paraphrase de ce qui précède.

egoroff

Non non c'est pas mal, on a parlé d'une seule des deux implications, l'autre est évidente mais c'est mieux de mettre en relief le "si et seulement si".

Rouliane

Merci j'avais en effet pas réfléchi à l'équivalence.

Rouliane

Re,

Je poste le message ci dessous pour utiliser le latex :

egoroff

Salut,

Tu avances vite dis-moi ! Tu as raison de te poser la question, mais en fait par hypothèse v' est dans L^2 puisque v est dans H^1 (et sur un compact on a L^2 inclus dans L^1).

Rouliane

Merci .

j'avance pas spécialement vite, c'est juste que j'ai un livre sur l'approximation des EDP qui semble assez ciblé ( j'entends par là que y'a que ce dont j'aurais besoin )

v est dans H^1 donc v' est dans L2, donc dans L1 car omega est borné, jusque là j'avais compris. Mais ça me gène un peu cette hsitoire de distribution : j'ai l'impression qu'on les utilise souvent dans les théorèmes, mais sans le dire.

si v' est dans L^2 l'intégrale a effectivement un sens, mais pourquoi alors parler ensuite de l'égalité v'=\bar{v}' au sens des distributions ?

EDIT : en fait, dans la définition de H^1, on entend bien v' dans L^2 dans le sens dérivée au sens des distributions ou pas ? Mais c'est quoi une distribution qui est dans L^2 alors ?

egoroff

En effet c'est un peu louche à première vue, l'idée c'est qu'on veut montrer v'=\bar{v}' "au sens de fonctions" (presque partout) mais vu les hypothèses sur v' c'est plus facile de montrer l'égalité au sens des distributions, c'est-à-dire qu'en intégrant ces deux fonctions contre n'importe quelle fonction-test on obtient le même résultat.

Dire que l'égalité entre distributions implique l'égalité entre fonctions est assez classique, pour être légèrement pédant c'est que L^1_{loc} s'injecte dans D'. On peut faire le même raisonnement sans parler de distributions, juste en montrant un "lemme d'unicité" du style : si f est dans L^2(Omega) et vérifie intégrale de f phi = 0 pour toute phi dans D(Omega) alors f=0 pp. D'ailleurs on peut définir les espaces de Sobolev sans prononcer une seule fois le mot "distribution", mais c'est beaucoup moins drôle (surtout pour la dualité).

Rouliane

Merci t'as parfaitement répondu à ma question, je comprenais pas au final pourquoi on ne montrait pas ça au sens des fonctions.

Par contre, l'inégalité finale est donc vraie pour des distributions ?
Sinon comment jusitifie-on le passage des distributions aux fonctions ? ( par un argument "L^1_loc" ?

egoroff

Je suis rassuré parce que j'avais peur d'avoir répondu à côté !

Je ne suis pas sûr de comprendre tout à fait la dernière mais je pense que l'inégalité finale dont tu parles exprime le fait que l'injection de H^1 dans C^0 est continue, donc que la norme infinie est plus petite que C fois la norme H^1 ? Il y a effectivement une petite subtilité, a priori v est dans L^2 donc c'est une classe d'équivalence de fonctions modulo l'égalité presque partout, alors que peut bien vouloir dire le fait qu'elle est continue ? La réponse est que dans une classe il y a au plus un représentant continu, essentiellement parce qu'un ensemble négligeable est d'intérieur vide. Donc lorsqu'on dit que v est continue on veut dire que v admet un représentant continu (mais là encore c'est le genre de choses qu'on ne détaille pas trop).

Sinon, j'essaie de me recentrer sur ta question, pour établir l'inégalité il n'y a pas de problème, c'est bien une inégalité entre fonctions, on sait que v et une fonction puisqu'elle est dans L^2.

Rouliane

Oui pardon, je n'ai même pas explicité l'inégalité : on veut bien montrer que l'injection de H¹ dans C⁰ est continue, donc que la norme infinie est plus petite que C fois la norme H¹.

Il y a un point que je n'avais pas saisi dans la démo, et que je viens de comprendre : grâce à l'égalité des dérivées au sens des distributions, on arrive à une égalité au sens des distributions v=v₁ ( où v₁=\bar{v}+C ) mais où la fonction v₁ est continue !

Et on a tout qui découle de là ( c'est bien ça hein ? ), on identifiera v à v₁.

En fait au début je voulais bêtement dire que \bar{v}'=v' en dérivant l'intégrale, mais v' n'est qu'intégrable donc on a uniquement continuité de \bar{v}

Merci encore, j'espère que cette fois j'ai bien compris

egoroff

Oui c'est bien ça, l'interêt d'introduire \bar{v} est d'avoir une fonction dont on sait qu'elle est continue. Je crois que cette fois tu es bien au point