cocycles polynomiaux

Eric Chopin

Bonsoir,

Ma question est sans doute élémentaire mais je n'arrive pas a trouver
de réponse sur le web.
Si je considère le groupe additif (R,+), alors on sait montrer
que tout cocycle polynomial (fonction polynomiale sur R) est un cobord,
c-a-d que la cohomologie est triviale (Heaton, Whaples, 1961).
Je me pose la même question pour (R^N,+), N entier fixé. Le résultat
est forcement faux si N>1 car dans le cas N=2, le 2-cocycle intervenant
dans la définition du groupe d'Heisenberg omega(v,v') = 1/2 det(v,v')
est antisymétrique alors que tout 2-cobord est par définition de la
forme f(v)+f(v')-f(v+v') donc symétrique.
Quelqu'un connaitrait-il un résultat concernant les groupes de cohomologie
dans ce cas (je me contenterai du H^2 dans le cas N=2 .... ;-) ) ???

Merci d'avance,
A+
eric

Eric Chopin

Je fais remonter avant que ce post ne sombre definitivement
dans les profondeurs du forum... ;-)

eric

Fadalbala

Bonsoir Eric Chopin,

je n'ai que des notions (tres) superficielles de cohomologie des groupes, je prends la parole car personne ne le fait, il n'y a rien a perdre.

Tout d'abord, s'agit il bien comme je le crois de la cohomologie de $ \mathbf{R}^{n} $ en tant que $\mathbf{Z}-$module?
Si c'est le cas, que peut on tirer de la suite exacte courte de groupes abeliens
$$ 0 \rightarrow ( \mathbf{R}^{n-1} , + ) \rightarrow (\mathbf{R}^{n} , +) \rightarrow (\mathbf{R} , +) \rightarrow 0 $$
et de la suite exacte longue de groupes de cohomologie associee?

Puisqu'il y a de la cohomologie non nulle pour $n \geq 2$, c'est qu'il y a des fleches de liaison dans cette suite exacte longue qui n'ont pas le rang attendu.

Vouloir etablir une recurrence sur $n$ est une idee naturelle, je ne t'apporte probablement aucun element nouveau. En fait par curiosite j'ai cherche si il n'y avait pas une sorte de formule de Kunneth pour un produit de modules en cohomologie des groupes; je n'ai rien trouve a ce propos.

Eric Chopin

Salut Fadalbala,

Non en fait je parle tout simplement de R^n en temps
qu'espace vectoriel (et donc a fortiori ayant la structure
de groupe additif (x1...xN) + (y1...yN) = (x1+y1,...,xN+yN).
Par exemple le groupe d'heisenberg est obtenu comme extension
centrale de R^2 par ( (x1,x2), t) + ( (y1,y2), t')
= ( (x1+y1, x2+y2) , t+t' + (x1y2-x2y1)/2)
et dans ce cas le 2-cocycle (x1y2-x2y1)/2 est polynomial
mais ne peut etre un cobord car il s'ecrirait sinon
f((x1,y1))+f((x2,y2))-f((x1+x2,y1+y2)) qui est symetrique.
Je cherche en fait des cocycles qui seraient des polynomes
de degré plus grand que 2. Je sais en construire mais je
n'ai pas de methode systematique pour les avoir tous.

A+

Eric