contrafactuel: maths!

vivelesarbres

On dispose d'une grande quantité de boites indiscernables quand elles sont fermées. On peut bien sûr les ouvrir. Et là certaines contiennent une bille verte et d'autres sont vides. Ce sont des boites magiques: qu'elles soient pleines ou vides, elles pèsent autant. Une fois ouverte, une boite ne peut plus être referemée.

But du jeu: mettre de côté AU MOINS une boite fermée dont on est parfaitement sûr qu'elle contient une bille verte.

(Remarque: les boites sont magiques. Toute façon de regarder dans une boite, directe ou indirecte, ouvre instantanément la boite et elle n'est plus refermable)

Prouver qu'il n'existe aucune stratégie qui permet d'y parvenir!

vivelesarbres

Remarque: l'hypothèse "le monde est unique" (elle va de soi dans cet exercice de niveau première) est indispensable. Les boites ne sont pas "clonables" (car pour les cloner, il faudrait connaitre leur contenu).

GG

Bonjour,

Ce problème ne me semble ni bien posé en langage naturel, ni en langage mathématique, et on demande une solution mathématique ...
On dirait du Christophe Chalons !


[J'allais le dire, mais lui aurait donné une infinité de boites. AD]

TheBridge

Je m'excuse les amis, mais CC airait trouvé une stratégie permettant d'être sûr d'avoir une boite avec une bille verte, en utlisant l'axiome du choix bien entendu.

vivelesarbres

Ce que vous pouvez être méchants avec CC...

Bon, on a 100 boites fermées sous les yeux (pas plus). On ignore s'il en existe une qui contient une bille verte.

On a tous les droits!

Prouvez que toute stratégie qui permettrait de sélectionner une boite (ou plusieurs boites, mais on se limitera sans perte de généralité à une seule, quitte à jeter les autres boites selectionnées à la poubelle) en étant sûr que ladite boite sélectionnée contient une bille verte a forcément, d'une manière ou d'une autre "regardé" dans cette boite sélectionnée.

Si vous n'êtes pas contents, je vous le reformule avec des $\phi$ et des $\sigma$ et vous aurez la flemme de lire...

Bien entendu, le nombre fini de boites ne permet pas d'utilisation de l'algorithme de CC qui de toute façon ne marche qu'avec une marge de 1-epsilon, et non "à coup sûr"

aléa

On note n le nombre de boites.
Si n=2, c'est pas dur de voir qu'il n'y a pas de stratégie (épuiser les cas)
Ensuite si il y avait une stratégie qui marche pour un certain n>2 ça donnerait l'existence d'une stratégie pour n=2: en effet il suffirait de prendre la configuration à étudier avec deux boites et de rajouter n-2 boites vides, puis d'appliquer la stratégie pour n boites.

GERARD

Bonjour.

Je ne vois pas où il y a à démontrer quoi que ce soit. Si j'ai bien compris l'énoncé, il se reformule en :
* Il n'y a aucun moyen de savoir si une boite donnée contient une bille verte.
* Prouver qu'il n'y a aucun moyen de savoir que la boite mise de côté contient une bille verte.

Par contre, si l'énoncé "certaines contiennent une bille verte" signifie qu'au moins une boite contient une bille verte, l'énoncé est faux, il suffit de mettre de côté toutes les boites.

Cordialement

vivelesarbres

rep à Alea: soit Z une stratégie faite pour être appliquée à n boites, et infaillible (soit elle déclare forfait, soit la boite sélectionnée est OK).

Prenons une seule "vraie" boite mystérieuse à laquelle on rajoute n-1 boites vides (qu'on rend exprès vide). Appliquons Z. Ou bien Z ne "choisit" aucune boite (forfait), après ouverture de quelques unes (ou toute) ou bien Z en choisit une en disant "celle-ci contient à coup sûr une bille verte". On suppose que Z ne se trompe jamais. L'hypothèse pour n=1 dit alors que dans les cas où Z ne déclare pas forfait, Z a forcément ouvert ou "scruté" d'une manière ou d'une autre la boite sélectionnée (qui ne peut être que la boite mystérieuse, puisque les autres sont vides). Je ne comprends pas pourquoi tu as décidé de démarrer à n=2.

Par contre, pour n=1, quel est ton raisonnement?

rep à Gerard: voir ci-dessus.

L'énoncé est: Prouvez que toute stratégie

qui permettrait de sélectionner une boite (ou plusieurs boites, mais on se limitera sans perte de généralité à une seule, quitte à jeter les autres boites selectionnées à la poubelle) en étant sûr que ladite boite sélectionnée (ou chaque boite sélectionnée) contient une bille verte

a forcément, d'une manière ou d'une autre "regardé" dans cette boite sélectionnée.

Remarque: la stratégie consistant à déclarer forfait à tous les coups ne "marche" pas mieux qu'une autre: en effet, chaque fois (cadire jamais) qu'elle sélectionne une boite, elle a regardé dedans.

Le barbant raseur0

A y est, CC tombe dans la delonite.
Vivelesarbres est le pseudo qu'à pris CC depuis qu'il est en province, comme il nous l'expliquait ici . Il ne s'en cache pas puisqu'il l'indiquait sur le lien que j'ai donné, ou dans le fil sur le forcing. Comprend pas pourquoi d'un coup il se met à parler de lui à la 3e personne...

vivelesarbres

Nan, c'est pour une autre raison (le double pseudo), et par respect pour ce double pseudo, j'ai effectivement utilisé la 3e personne. Mais j'espère avoir encore assez les yeux en face des trous pour ne pas ressembler à A.Delon. Quiconque me connait d'ailleurs te le confirmerait: je n'ai pas de quoi pavoiser

christophe c

Raisonnement pour n=1: soit Z une stratégie qui isole une boite en disant, "c'est sûr, elle contient une bille verte". Filmons "l'aventure" de Z avec cette boite. Imaginons que la boite est vide. Z, à un moment ou un autre, se serait comporté autrement. Prenons le premier moment "élémentaire" où Z ne fait pas pareil avec la boite vide qu'avec la pleine. A ce moment, il est acceptable d'affirmer que Z "vient de regarder" dans la boite.

Toto.le.zero

Vivre les arbres, ton raisonnement sent le sapin Alors au bouleau !

[Toto tu ne t'appellerais pas Sylvestre des fois AD]

vivelesarbres

Vive les arbres!

vivelesarbres

Pour détruire le 13, je reprends le raisonnement pour n=1, car il ne semble pas évident pour tout le monde:

Soit Z une stratégie infaillible qui, dans une des parties qu'elle joue, isole une (donc "la") boite en étant sûr qu'elle contient une bille verte. Z a peut-être regardé dans la boite (tout simplement) ou peut-être procédé autrement, peu importe.

Formalisons ça en une suite finie u_1,...u_p d'actions-évenements "élémentaires". Chaque u_i est une description dans un certain langage adapté à cette situation de ce que la stratégie fait avec la boite, un langage qui contient au moins le verbe "ouvrir la boite", etc.

Supposons que la boite soit vide, c'est à dire que dans la suite u_1,..u_p, remplaçons le nom de la boite par le nom d'une boite vide. Par hypothèse, la suite u'_1,..u'_p obtenue n'est plus une partie jouée selon Z. Soit le premier q<=p tel que u'_1,..,u'_q ne respecte pas Z (n'est pas joué en obéissant à Z). Alors, à l'étape q, on peut dire que le gars qui joue u_1,..u_p regarde (directement ou non) dans la boite...

GERARD à la maison

J'arrète de participer.

Je ne vois pas l'intérêt d'un énoncé qui change qu'il ne veut rien dire. J'aime encore moins les démonstrations fondées sur l'existence d'un objet impossible ("On suppose que Z ne se trompe jamais") et la "démonstration" (par affirmation simple : "dans les cas où Z ne déclare pas forfait, Z a forcément ouvert ou "scruté" d'une manière ou d'une autre la boite sélectionnée". Le "forcément" est toujours l'indice d'un manque de preuve. Voir Marguerite Duras : "Coupable, forcément coupable").

Ciao

vivelesarbres

Gerard a dit:

J'arrète de participer.

Je ne vois pas l'intérêt d'un énoncé qui change qu'il ne veut rien dire. J'aime encore moins les démonstrations fondées sur l'existence d'un objet impossible ("On suppose que Z ne se trompe jamais") et la "démonstration" (par affirmation simple : "dans les cas où Z ne déclare pas forfait, Z a forcément ouvert ou "scruté" d'une manière ou d'une autre la boite sélectionnée". Le "forcément" est toujours l'indice d'un manque de preuve. Voir Marguerite Duras : "Coupable, forcément coupable").

Ciao

J'ai recopié, le latex est HS en ce moment...

Tu "critiques" un passage qui se trouve en hypothèse: par hypothèse Z a forcément ouvert ou "scruté" d'une manière ou d'une autre la boite sélectionnée". Le mot "forcément, ne veut rien dire, ni même les expression "regardé indirectement dans la boite"

Ce faisant, face à "A implique B", ta déclaration "je rejette A" est un vote positif en faveur de "A implique B". C'est marrant...

Bref: si tu préfères une version formelle, permets-moi de te la promettre quand j'aurai un peu plus de tps, ce sera fastidieux: il faut créer un langage où ouvrir une boite a un sens, etc...

Par contre, je me permets de demander aux visiteurs de ce fil d'intervenir s'ils considèrent que les posts-olutions d'Alea ou de moi ne leur parait pas assez formels. A vouloir tout formaliser on finit par rallonger de beaucoup certaines questions.

Une boite fermée est un numéro, indiscernable d'une autre boite fermée. Une boite ouverte est une "disjonction" (pleine ou vide) choisie par "l'adversaire" dans la théorie des jeux à information parfaite (si on n'impose pas à Natura (cidessous) de montrer à l'arbitre, en secret, qu'elle ne triche pas et décide une bonne fois pour toute quelles boites sont vides et quelles sont pleines.

Mais ce n'est pas indispensable, vu qu'on s'intérroge sur l'existence d'une stratégie gagnante pour Joe (donc, Que Natura triche ou non, on s'en fout)

On peut donc imaginer une partie comme suit. L'un des joueurs (Joe) a la charge d'isoler une boite et de dire "je suis sûr qu'elle est pleine". Pour ça, il est confronté à un adversaire Natura" et le "damier" est composé de jetons numérotés. Il y a une option dans laquelle Joe a la droit de demander à "Natura" de remplacer un jeton (dont Joe choisit le numéro) par "boite vide" ou par boite pleine "au caprice de Natura". Est-ce que je dois continuer de te décrire les règle du jeu???

vivelesarbres

Bon, je suis zentil, je te le formule formellement:

Soit le jeu suivant:

Joe joue un nombre x_1 compris entre 1 et 100 et Natura joue y_1="boite vide" ou y_1="boite pleine". Et ainsi de suite, ce qui donne une partie x_1,y_1,x_2,y_2,.... A n'importe quel moment, Joe peut, au lieu de choisir x_n=un nombre entre 1 et 100, préférer déclarer "p est pleine". Natura répond alors "oui" ou "non". Si p fait partie des x_i déjà joué, Joe perd la partie. sinon, Joe ne gagne que si Natura dit "oui", la boite numéro p est pleine.




Exercice: prouver que Natura gagne très facilement à ce jeu.

Dans la version "à information cachée", on exige d'abord de Natura qu'elle choisisse un sous-ensemble de 1..100, qui représente les boites pleines. Et si elle ne le respecte pas dans ses réponses, elle perd au potif qu'elle triche.


Bon, je suis pas gentil en fait, mais si tu veux tu peux "inventer" toi-même des versions plus subtiles.

niouk

Soit...mais quel rapport avec la contrafactualité ?