sous groupes additifs de Z

Bonjour, je voudrais montrer que si G est un sous groupe de Z alors il est de la forme nZ.
Si G =! {0}, alors l'intersection de G et de N* est non réduite à O. Ainsi je pose n = Inf(G inter N*)
Si x € G, par division euclidienne de x par n, j'obtiens x = nq + r
et alors pourquoi q appartient à G ?
Il y a quelque chose qui m'échappe...
Merci

Réponses

  • Bonjour Novice

    Dans la division euclidienne n'y a-t-il pas une condition sur r par rapport à n ?

    Alain
  • si r doit etre positif et inférieur strictement à n, mais pourquoi q appartient-il à G?
  • Re-bonjour
    Comment as-tu défini n ?
    Cela n'amène-t-il pas au résultat ?
    Alain
  • en fait si! j'arrive au résultat, puisque:
    en utilisant le fait que r est inférieur strictement à n, et que r appartient à G et à N, on obtient r=0, donc x=nq.
    Mais pour pouvoir dire que r appartient à G, je le fais par associativité, et il me faut donc préciser que q appartient à G.

    EN fait, la question est là, faisant la division euclidienne de deux éléments de G, est ce que nécessairement reste et quotient appartiendront à G...?
    (ouh la c'est confus, je veux bien recommencer si vous me suivez pas..)merci
  • Dans un groupe quelconque, la "multiplication" d'un élément de ce groupe par un entier est toujours bien définie.
  • ah oui, n appartient à G, donc nq étant la somme de n, q fois, nq appartient à G, c'est bien ca?
    merci
  • Re-bonjour Novice
    Par définition de n, tu sais que n € G, donc qn = n+n+...+n (q fois) est aussi dans G (stabilité pour l'addition)
    En écrivant r = x - nq on obtient r € G.
    Alain
  • oui voilà, d'accord, merci à vous 2. Bonne journée
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