Brownien et t -> 1/t
Bonjour tout le monde !
J'avais une petite question sûrement très bête : soit $(B_t)$ un mouvement brownien. Comment montrer que $(tB_{1/t})$ est encore un brownien ? C'est facile sauf pour l'indépendance des incréments, il doit y avoir une bête manip algébrique à faire mais je trouve pas quoi Si quelqu'un avait une petite idée...
Merci
J'avais une petite question sûrement très bête : soit $(B_t)$ un mouvement brownien. Comment montrer que $(tB_{1/t})$ est encore un brownien ? C'est facile sauf pour l'indépendance des incréments, il doit y avoir une bête manip algébrique à faire mais je trouve pas quoi Si quelqu'un avait une petite idée...
Merci
Réponses
-
Salut
Et pourtant c'est peut être le plus facile, vu si les intervalles délimitées par les t_k sont disjoints (ou d'intersection égale à un point) il en va de même des intervalles délimités par les 1/t_k puisque la fonction inverse est strictement monotone.
Sinon c'est aussi très simple de démontrer que la fonction de covariance du processus inversé est min(s,t) et comme cette fonction caractérise la loi d'un processus gaussien... -
Euh oui, je veux bien, mais y'a un gros $t$ devant qui gêne. Car si pour $s<t<u<v$, $B_{1/s}-B_{1/t}$ et $B_{1/u}-B_{1/v}$ sont indépendants (on est d'accord, c'est évident ), ça implique pas forcément que $sB_{1/s}-tB_{1/t}$ et $uB_{1/u}-vB_{1/v}$ le sont aussi. A moins que je loupe totalement quelque chose ?
-
Bonjour
Il suffit de montrer que :
- le processus est p.s continu (la continuité à l'origine n'est pas si simple, il faut un peu travailler !)
- la moyenne et la fonction de covariance sont les bonnes
Bon amusement -
Ah oui effctivement je n'avais pas du tout pensé à ça, désolé.. je vais réfléchir à une manière de contourner le problème. Comme tu sais que c'est un processus gaussien calculer la covariance des incréments suffit à montrer leur indépendance, as-tu essayé ?
Enfin la démarche à base de fonction de covariance du processus lui-même est quand même plus simple. -
Ah non, pas pensé à la matrice de covariance, je vais faire ça, normalement ça devrait marcher... J'ai toujours eu un problème avec les vecteurs gaussiens Pis j'irai aussi jeter un petit coup d'oeil du côté de la fonction de covariance, sachant que je sais pas ce que c'est
Merci !!! -
Allons-y, en notant $X_t=tB_{1/t}$ et $s<t<u<v$ et en détaillant tout :
\begin{align*}
\mathrm{Cov}(X_t-X_s,X_v-X_u) &= \mathbb{E}( (X_t-X_s)(X_v-X_u) ) \\
&=\mathbb{E}(X_t X_v)+\mathbb{E}(X_s X_u)-\mathbb{E}(X_t X_u)-\mathbb{E}(X_s X_v)\\
&=tv\mathbb{E}(B_{1/t}B_{1/v})+su\mathbb{E}(B_{1/s}B_{1/u})- tu\mathbb{E}(B_{1/t}B_{1/u})-sv\mathbb{E}(B_{1/s}B_{1/v}) \\
&=tv/v+su/u-tu/u-sv/v=t+s-t-s=0
\end{align*}
En utilisant successivement : le fait que $X_t$ est centré, la linéarité de l'espérance, la définition de $X_t$, et surtout la relation $\mathrm{Cov}(B_s,B_t)=\mathbb{E}(B_s B_t)=\min(s,t)$ couplé à $1/v<1/u<1/t<1/s$. Puisque le vecteur $(B_s,B_t,B_u,B_v)$ est gaussien, le vecteur $(X_t-X_s,X_v-X_u)$ l'est aussi (image d'un vecteur gaussien par une application linéaire) donc la nullité de la covariance implique l'indépendance des composantes. Voilà !
Pour les vecteurs gaussiens c'est dommage parce que c'est le cadre où tout se passe bien ! J'essaierai de poster la semaine prochaine un petit pdf que j'avais écrit sur les bases des processus gaussiens, si j'arrive à le retrouver. -
Je suis d'accord^^ Juste une question : pourquoi "c'est dommage" que tout se passe bien ?
Puis merci encore
PS : kezaco la fonction de covariance ?
PS2 : qu'est ce que tu fais encore debout à cette heure-là ? (moi j'ai une excuse je suis en GMT-6 ou 7 là )
PS3 : une question qui me turlupine (pas que j'en dors pas, mais presque !) : egoroff, qui es-tu ? Prof, agrégatif, amateur, jeune, mûr, etc ? Après je veux pas être indiscret -
Euh je voulais dire que c'était dommage de faire l'impasse sur les vecteurs gaussiens alors que c'est le cas le plus simple ! Pour la fonction de covariance, fastouche : on commence par se donner un processus stochastique $(X_t)_{t \in T}$, on dit qu'il est gaussien si pour tout $n \in \N^*$ et tous $t_1,...,t_n \in T$ le vecteur $(X_{t_1},...,X_{t_n})$ est gaussien, i.e. les lois fini-dimensionnelles du processus sont gaussiennes, et on appelle fonction de covariance la fonction définie sur $T^2$ par $R(s,t)=\mathrm{Cov}(X_s,X_t)$.
Il n'est pas trop dur de voir (enfin faut le dire vite) que cette fonction et la fonction moyenne $M(t)=\mathbb{E}(X_t)$ caractérisent entièrement la loi du processus, c'est-à-dire si deux processus gaussiens ont les même fonctions $R$ et $S$ alors ils ont la même loi, on dit que ce sont des versions l'un de l'autre. Voilà pour l'unicité.
Il est beaucoup plus difficile de voir qu'étant donnée une fonction quelconque $M \, : \, T \to \R$ et une fonction $R \, : \, T^2 \to \R$ symétrique : $R(s,t)=R(t,s)$ et telle que pour tous $t_1,...,t_n \in T$ la matrice symétrique $A$ de coefficients $R(t_i,t_j)$ est positive : $^tYAY \geq 0 \, \forall Y \in \R^n$, {\it il existe forcément un processus gaussien attaché aux fonctions $R$ et $M$} ! Trop fort. Avec ça tu peux construire un paquet de processus gaussiens centrés sur un paquet d'espaces des paramètres :
- le mouvement brownien sur $\R_+$, $R(s,t)=\min(s,t)$, mais aussi, frimons un peu :
- le pont brownien sur $[0,1]$, $R(s,t)=\min(s,t)(1-\max(s,t))$ ;
- le drap brownien sur $\R_+^2$ ou même $\R_+^d$, $R(s,t)=\prod \min(s_i,t_i)$ ;
- un (le ?) processus d'Ornstein-Uhlenbeck stationnaire sur $\R$, $R(s,t)=ae^{-r|t-s|}$ ;
- pour tout $h \in ]0,1[$ un et un seul processus gaussien centré sur $\R_+$, $h$-auto similaire : $(X_{\lambda t})$ et $(\lambda^h X_t)$ ont la même loi, et à accroissements indépendants, dont je n'ai pas la fonction de covariance en tête mais elle se retrouve sans peine ; le MB correspond au cas $h=1/2$.
Après il y a des résultats super chouettes pour un processus gaussien centré, lorsque $T$ est un espace métrique, liant la régularité du processus à celle de $R$, du genre (sauf erreur) :
- le processus est "localement continu en moyenne quadratique" : $\forall t \in T, \, \lim_{s \to t} \mathbb{E}(X_t-X_s)^2=0$, si et seulement si $R$ est continue sur $T^2$ ;
- si $R$ est höldérienne d'exposant $\alpha$ sur $T^2$ pour un certain $\alpha \in ]0,1]$, alors le processus admet une modification presque sûrement continue.
Pour plus de précisions tu peux par exemple voir les explications très claires au début du poly de J.Jacod intitulé {\it Mouvement brownien et calcul stochastique}, disponible sur le web, ou alors les premiers chapitre de {\Continuous Martingales and Brownian Motion} de D.Revuz et M.Yor.
Si je ne dors pas c'est que je suis en train d'apprendre tous ces trucs et ça m'empêche de dormir la nuit tellement c'est beau, et dur aussi. Mais c'est très mal parce que j'ai 50000 trucs à faire demain ! Pour répondre à ta dernière question je suis encore étudiant et pas agrégatif (du moins pas cette année) mais je vais quand même aller traîner aux alentours de St-Maur (pour me reconnaître il faut se mettre à quatre pattes... rassure-toi ça n'a rien d'obscène :-) ). Je n'en dirai pas plus même sous la torture ! Et toi Meuh qui es-tu si ce n'est pas indiscret ?
Bon allez sur ce bonne nuit. -
Eh beh, y'a des trucs à regarder... Faudrait seulement que le scrogneugneu qui a emprunté le Revuz & Yor à la bibli le rende
Euh oui sinon, meuh = normalien à ker-lann, agrégatif l'année prochaine, en stage aux us pour l'instant, et visiteur intempestif de ce fofo mais où je n'écris que rarement
PS : oui oui, j'avais suivi avec passion cette histoire de chaussettes, je ne vois pas ce qu'il ourrait y avoir d'obscène derrière :P -
Ah oui il paraît qu'aux states il y a un paquet de scrogneugneus ! Bon ben profite bien de ton stage, et puisque tu ne pourras pas venir à St-Maur je t'enverrai une photo de mes chaussettes pour te consoler.
-
D'ailleurs, tous les oraux de tous les agrégatifs de France sont à Saint-Maur ? Moi ça m'arrange mais c'est un peu abusé pour certains (même si je comprends que etc, no troll !)
PS : oki pour la photo des chaussettes, faudra que je me crée un compte ici un jour, histoire que tout le monde m'envoie plein de photos de ses chaussettes
PS2 : tu mets décidément ton nez dans tous ce qui a un titre qui ressemble à brownien dis donc -
Petit détail qd même il faut vérifier la continuité du bouzin en 0.
-
Yes ElPuente et comme l'a dit sedanais c'est à faire avec des pincettes.
Sinon pour les oraux oui il me semble que c'est forcément à St-Maur-des-Fossés, qu'on habite à Nogent-sur-Marne, à Douarnenez, à Agen ou même.. à Nouméa ! (il a quelques calédoniens sur le forum, agrégés ou agrégatif, et il doivent se taper 20000 km pour passer leurs oraux). -
Avant il démontre que $\frac{B_t}{t} \longrightarrow 0$ ps, donc c'est l'arnaque
Enfin oki pour tout ça en tout cas, kiss à tout le monde
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 164.9K Toutes les catégories
- 53 Collège/Lycée
- 22.1K Algèbre
- 37.5K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 57 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 20 CultureMath
- 50 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.7K Géométrie
- 82 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 77 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 334 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 794 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres