Développement asymptotique de zeta'/zeta

boule0

Bonjour à tous,
J'ai deux formules que je n'arrive pas à démontrer pourtant ça ne me parait pas très compliqué mais je bloque !

La première que j'avais trouvé y a quelques temps sur un post içi-même (sur le TNP) :

$\displaystyle - \frac {\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \frac {1}{s-1} - \gamma + O \left ( \vert s-1\vert \right ).$

Et la deuxième similaire

$\displaystyle - \frac {\zeta'(\sigma)}{\zeta(\sigma)} = \frac {1}{\sigma-1} - + O \left (1).$

Et je ne vois pas vraiment comment obtenir ces deux résultats.

Merci d'avance

borde

Tu sais que, au voisinage de $1$, on a $\displaystyle {\zeta(s) = \frac {1}{s-1} + \gamma + O(|s-1|)}$ et $\displaystyle {\zeta'(s) = - \frac {1}{(s-1)^2} + O(1)}$, donc : $$\frac {\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \frac {- \frac {1}{s-1} + O(|s-1|)}{1 + (s-1)\gamma + O(|s-1|^2)} = \left \{ - \frac {1}{s-1} + O(|s-1|) \right \} \left \{ 1 - (s-1)\gamma + O(|s-1|^2) \right \},$$ et tu développes.

La seconde formule asymptotique, moins précise que la première, en est une conséquence évidente.

Borde.

Victor-Emmanuel0

Bonjour! Et pour le développement de zêta jusqu'à la constante gamma d'Euler, comment fait-on?

borde

Bonsoir,

Ou bien tu consultes un livre de TAN, par exemple :

Titchmarsh, The theory of the Riemann-zeta function, Oxford Science Publications (1986),

Ou bien tu regardes ça, par exemple :

http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetageneralities.html

Borde.