droites concourantes

Bonjour, voici l'énoncé d'un exercice que je n'arrive à faire que partiellement :
"on considère la famille de droites Dm d'équation $$(2m-1)x+(3m+1)y=8+4m$$ dans un repère donnée"

1) Montrer que toutes ces droites sont concourantes en I.
2) Toute droite passant par I appartient-elle à l'ensemble Dm?

Pas de problème pour 1, je vérifie, que pour tout m, Dm sera une droite, puis qu'elles passent par un meme point I, et enfin, qu'elles sont distinctes deux à deux

Pour la deux, je ne vois pas du tout comment faire? merci...

Réponses

  • Pour le 1, je ne vois pas pourquoi il faudrait vérifier qu'elles sont distinctes deux à deux. Il suffit de vérifier qu'elles passent toutes par un même point (qu'elles soient distinctes ou non).

    Pour la 2 : un indice : la réponse est non. En particulier, quel est le coeff directeur de $D_m$ ? Peut-il être égal à n'importe quel réel ?
  • la question 2 signifie : étant donnée une droite (du plan) passant par le point I, existe-t-il un réel m tel que cette droite ait pour équation $(2m-1)x+(3m+1)y=8+4m$ ?
    Pour y répondre, il suffit d'écrire la forme de l'équation $ax+by+c=0$ de n'importe quelle droite passant par ce point I.

    [grillé..]
  • je montre qu'elles sont distinctes deux à deux, car si certaines sont confondues, alors elles seraient parallèles et donc elles ne seraient donc pas toutes concourantes.

    Sinon effectivement, le dénominateur du coef directeur doit etre non nul, et donc on oublie la valeur -1/2, ce qui me donne une droite supplémentaire, mais comment savoir si à présent je les ai toutes? en fait aleg j'ai pas trop compris ce que tu me proposes...à part obtenir une relation sur a, b et c? :S
  • Résumé :
    Tu prends une droite $D$ passant par $I$.
    Elle a pour équation $ax+by+c=0$ avec $a,b,c$ qui ont une certaine relation.
    Tu cherches un nombre $m$ tel que $D$ et $D_m$ soient confondues.
    $D$ et $D_m$ passent par un meme point donc elles doivent etre parallèles
    Tu peux utiliser leur vecteur normal pour conclure
  • Il y a un petit raisonnement géométrique assez simple.

    Une droite passant par $I$ est caractérisée par l'un quelconque de ses points distincts de $I$. Soit $M \in (D) \setminus \{I\}$. Appelons $\phi = 0$ et $\psi = 0$ les équations des droites de base. La droite d'équation $\psi(M)\,\phi(x,y) - \phi(M)\,\psi(x,y) = 0$ passe à la fois par le point $M$ et par le point $I$. C'est donc la droite $(D)$.

    Si $\phi(M) \neq 0$, alors l'équation peut s'écrire $\dfrac{\psi(M)}{\phi(M)}\,\phi(x,y) - \psi(x,y) = 0$ qui est de la forme souhaitée. Donc il y a une unique droite qui n'a pas une équation de la forme proposée. Je te laisse trouver laquelle.

    Bruno
  • merci à tous et merci bruno, en effet c'est cette méthode que j'avais déjà rencontrée, et il s'agit toujours de la fonction de x et de y que l'on aura factorisée par m, qui correspondra à "la droite oubliée". Il s'agit donc ici de la droite d'équation $2x+3y-4=0$ si je ne me trompe pas...
    Sinon ai-je raison de vérifier que les droites sont distinctes deux à deux, ou je ne devrais le faire que si "strictement concourantes" était précisé?
    merci
  • Tu as bien trouvé la bonne droite.

    Quant à vérifier si deux droites de paramètres distincts sont distincte, je suis en désaccord. Je soutiens mordicus que l'on dit qu'une ensemble de droite est constitué de droites concourantes en I si, et seulement si, chacune de ces droites passe par le point I. Il n'y a donc pas lieu de pinailler sur droites distinctes ou non puisqu'il n'y a pas plusieurs droites qui s'invitent dans la définition.

    Bruno
  • mais c'est parce que vous considérez que deux droites confondues sont concourantes au sens large? ou parce que on s'intéresse pour chaque valeur de m, à savoir si la droite passe par I, et donc cas dissociés?
  • Attention aux sens larges, on y perd tout bon sens.

    On dit "qu'une droite est parallèle à elle-même" mais... C'est au sens large car sinon on dit que "deux droites d'un même plan sont parallèles si elles n'ont aucun point en commun".

    On dit que "deux droites sont sécantes si elles ne sont pas parallèles"...

    Si tu considère des droites sécantes au sens large, comme tu le dit, tu arrives au fait qu'une droite est paralléle à elle-même et sécante à elle-même le tout au sens large... Ce qui est le comble.



    Bruno
  • oui effectivement c'est ce qui me génait, car pour moi, si elles sont concourantes, elles sont deux à deux disjointes.
    Donc, vous ne regardez pas si c'est distinct, car pour vous, il faut regarder si pour chaque m, la droite passe par I, et c'est tout, c'est bien ca?
  • Bruno, quand tu parles d'un raisonnement {\bf géométrique}, tu parles du changement de repère
    $$
    \begin{cases}
    X&=\phi (x;y)\\
    Y&=\psi (x;y)
    \end{cases}
    $$
  • Pour novice : oui.

    Pour matmat : tu as raison mais écrit comme tu le fais, cela ressemble à une astuce alors que ce changement de repère est fondé sur deux considérations géométriques :

    1°) par deux points il passe une seule droite ;

    2°) la relation de dualité dans les espaces projectifs car au bout du compte un point du plan projectif c'est une droite du dual et c'est là le fond de la question.

    Bruno
  • bonjour,
    je crois que le malaise de novice n'est pas tout à fait injustifié, car dans le cas extrême où la famille de droites est réduite à une seule droite (par exemple, on considère la famille Dm: mx+2my = 3m, pour m<>0), il ne suffit pas de montrer que la droite Dm passe par un point I, pour montrer qu'elles sont "toutes" concourantes. Bien sûr, c'est ridicule de parler de famille de droites dans ce cas, mais on pourrait imaginer que le facteur de proportionnalité soit caché dans des expressions très complexes, et un questionneur pervers :) Peut-être est-ce à cela qu'il pensait obcurément ?
  • Oui c'est ca je pense :?
    en fait, oui par exemple, si Dm, est finalement réduit à une droite, alors dire, qu'elles sont toutes concourantes serait génant.
    Mais finalement meme si j'en avais plusieurs dont deux confondues, j'étais génée parce que pour moi, je traduisais le "toutes" par deux à deux concourantes en fait (je pense)... donc si meme deux étaient confondues, j'étais génée....
  • Bonjour
    J'aimerais savoir ce que veut vraiment dire concourante
    En fait j'aimerais en avoir une bonne définition ... :)
  • Bjr' Bjr'

    J'ai un pti ps de Maths,J'ai des systemes a resoudre (Sa c'est fait) puis la consigne est " interpretez grafiquement le resultat",mais cmt faire des droite a partir d'un systeme ?

    Jvous donne le 1er par exmple:
    x-y=4
    5x

    Ce systeme n'existant pas,on trouve normalement deux droites parralleles..Mais je bloque pr les tracer..

    Help :)

    [Pom, Par respect pour tes lecteurs, ne peux-tu te relire avant de poster ? Merci. AD]
  • stfj
    Modifié (11 Jun)
    Bonjour, aucun des arguments donnés en 2007 pour répondre à OP, ne me paraît pleinement convaincant. https://www.geogebra.org/classic/q6eyhzt9 Cordialement, Stéphane.
  • Chaurien
    Modifié (14 Jun)
    • On cherche à caractériser la famille des droites $(D_m)_{m \in \mathbb R}$ d'équations $(2m-1)x+(3m+1)y=4m+8$.
    Je posais ce problème en Seconde C dans les années 1970 . Nous ne soupçonnions pas qu'il existerait quelque chose comme GeoGebra.
    • On montre d'abord que les droites de cette famille passent toutes par un même point, et pour trouver ce point, on fait simplement successivement : $m:= \frac12$, $m:=-\frac 13$. On trouve le point $A$ de coordonnées  $(-4,4)$.
    Réciproquement, l'équation générale d'une droite passant par ce point $A$ est : $ax+by=-4a+4b$ avec $(a,b) \neq (0,0)$.
    Une telle droite sera une droite de la famille $(D_m)$ si et seulement s'il existe $m \in \mathbb R$ tel que : $(2m-1)b-(3m+1)a=0$, 
    soit : $(2b-3a)m-(a+b)=0$. 
    Un tel $m$ existe si et seulement si $2b-3a \neq 0$, ce qui exclut seulement la droite $\Delta $ d'équation  $2x+3y=4$.
    •  Les droites $D_m$ sont donc exactement les droites passant par le point $A$, sauf la droite $\Delta$.
    • J'avais trouvé ça, et j'étais intéressé par cette famille qui comprend tout le monde sauf un, et je l'avais posé en Seconde C, dans un lycée de Seine-Saint-Denis. Ça passait, dans les années 1970.
    • En fait cette droite $\Delta$ n'est autre que $D_{\infty}$, je ne l'avais pas dit à mes élèves de Seconde C, mais nos amis amateurs de Projective l'auront vu tout de suite.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • stfj
    Modifié (15 Jun)
    Bonjour @Chaurien,
    Je ne vois pas le rapport avec la géométrie projective. https://www.geogebra.org/classic/q6eyhzt9
    Cordialement, Stéphane.
  • stfj
    Modifié (15 Jun)
    Bonjour,
    J'aimerais formaliser le lien qui semble assez évident avec la géométrie projective. Rappelons l'exercice :
    ___________________
    Soit $(D_m)_{m\in\R}$ la famille de droites d'équations $$(2m-1)x+(3m+1)y-(4m+8)=0$$Toutes les droites $D_m $ passent par $I\doteq(-4,4)$ mais il existe une unique droite passant par $I$ qui n'est pas de la forme $D_{m_0}$ pour $m_0\in \R$, en l'occurrence la droite d'équation $2x+3y-4=0$, ce qu'illustre l'animation geogebra suivante : https://www.geogebra.org/classic/q6eyhzt9
    ________________________
    On considère donc l'espace vectoriel réel $E\doteq\mathbb R^3$, son dual $E^*$, les espaces projectifs associés $\mathrm P_{\mathbb R}(\mathbb R^3)$ et $\mathrm P(E^*)$. On munit $\mathrm P_{\mathbb R}(\mathbb R^3)$ du repère projectif $$(\mathbb R(0,0,1),\mathbb R(1,0,1),\mathbb R(0,1,1),\mathbb R(1,1,3))$$et on choisit comme "droite à l'infini" $z=0$, autrement dit $\newcommand{\linf}{\mathcal L_{\infty}}\linf$, avec $\linf\simeq [0,0,1]$ par définition dans $\mathrm P(E^*)$
    Alors, dans $\mathrm E^*$, la famille $(D_m)_{m\in\R}$ s'interprète comme la trace dans le plan $$z=1$$ de la droite projective $$\mathrm P(Vect((-1,1,-8), (2,3,-4)))$$
    (On a tout simplement écrit $(-1+2m,1+3m,-8-4m)=(-1,1,-8)+m(2,3,-4))$
    Le point à l'infini de $\mathrm P(Vect((-1,1,-8), (2,3,-4)))$ est $(2,3,-4)$ qui est la droite $$2x+3y-4=0$$
    __________________________
    C'est un vrai bazar mais je pense qu'à une ou deux corrections près, cela "remet l'exercice à sa place". Qu'en pensez-vous?
    Cordialement, Stéphane.

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