anneau Z/nZ

Bonjour, pour la lecon 14 de l'oral 1 du CAPES Congruences-Anneaux Z/nZ, pour montrer que cet ensemble quotient est un anneau commutatif, je me rappelle que notre prof nous a conseillés plutot que de montrer toutes les propriétés, de se servir de la surjection canonique qui à x associe la classe de x, mais n'étant pas tres douée en algebre...je ne vois pas comment faire? il faut montrer qu'il s'agit d'un hommomorphisme d'anneaux, ou se servir de la décomposition canonique (que j'ai jamais compris finalement..)

merci beaucoup!!!

Réponses

  • Bonsoir novice,

    Le plus simple est encore de montrer que la projection canonique $\Pi_n$ est un morphisme d'anneaux de $\Z$ sur $\Z/n\Z$.
  • d'accord mais pour montrer que c'est un homomorphisme d'anneaux, ne dois je pas savoir que l'ensemble de départ et celui d'arrivée sont déjà des anneaux?
  • Desolé de m'être empressé de te répondre d'autant plus que ça fait longtemps que je n'ai pas fait d'algèbre et ta question suscite une interrogation.
    En revoyant mon cours, on a montré les hypothèses que doit vérifier un anneau.
    Sinon, tu peux toujours essayer de montrer que si $I$ est un idéal non trivial de $\Z$, alors il exsite un unique entier $n$ tel que $I=n\Z$, $\Z/I$ est alors muni d'une structure naturelle d'anneau comme quotient d'un anneau par un idéal.
  • Si on note $\pi:\Z\to\Z/n\Z$ la surjection canonique, il semble naturel de poser pour $(\alpha,\beta)\in(\Z/n\Z)^2$, $\alpha=\pi(x)$ et $\beta=\pi(y)$, $\alpha+\beta:=\pi(x+y)$ et $\alpha\times\beta:=\pi(xy)$.
    Il ne reste plus qu'à démontrer que cette somme et ce produit sont bien définis (qu'ils ne dépendent pas des réprésentants choisis pour $\alpha$ et $\beta$) et cela devrait venir tout seul. :)
  • Merci Malot Philippe ça me revient, on définit le produit et la somme dans $\Z/n\Z$, on montre qu'ils sont bien définis et ensuite il n'y a plus à vérifier que $\pi$ est un homomorphisme.

    En espérant ne pas raconter trop de bêtises ;)
  • d'accord mais ceci montre alors que Z/nZ est un anneau??? n'est ce pas une hypothèse pr montrer que $\pi$ est un morphisme d'anneaux...
  • le plus simple a priori c'est de montrer que $n\Z$ est un ideal dans $\Z$, non ?
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