Idéaux de fonctions analytiques

Bonjour,

Je me posais la questions suivante :
On se donne deux idéaux de types finis de l'anneau des fonctions analytiques réelles sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^{n}$.
Est-ce que l'intersection est encore de type fini. Je sais qu'en général c'est faux, mais je me demandais si dans ce cas particulier c'était vrai

Réponses

  • Si c'est faux pour une intersection d'un nombre fini (cas general), c'est parce que c'est deja faux pour l'intersection de deux ideaux...

    Je ne suis cependant pas satisfait de ma reponse car j'aimerais donner un contre exemple.
  • Tu n'as pas compris quand je parlais de en général.
    Je disais on prend n'importe quel anneau. Il y a des anneaux ou cette propriété est vraie on les appelle cohérents. Enfin poser tel quel ma question est fausse.

    En fait je cherche à montrer que si l'on se donne deux familles de fonctions analytique sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^{n}$ disons $f_1,\ldots,f_p$ et $g_1,\ldots,g_q$ et que l'on considère le faisceau qui à l'ouvert $U$ de $\Omega$ associe $<f_1,\ldots,f_p>(U)\,\cap <g_1,\ldots,g_q>(U)$ où
    $<f_1,\ldots,f_p>(U)$ désigne l'idéal de fonctions analytiques sur $U$ engendré par la restriction des $f_i$ à $U$ ie (je regarde un idéal de $\mathcal{A}(U)$ qui est l'ensemble des fonctions analytiques sur $U$ et non pas de $\mathcal{A}(\Omega)$), alors étant donnée un point $x\in \Omega$ il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que $<f_1,\ldots,f_p>(V)\,\cap <g_1,\ldots,g_q>(V)$ soit de type fini.

    Merci
  • Je m'excuse d'avoir eu une interpretation trop simpliste de ta question,
    et par la de t'avoir (peut-etre) vexe.
    A priori je ne sais pas, je vais reflechir un peu.
  • Ne t'inquiètes pas, tu ne m'as pas vexé. Ma question n'était pas très claire.
    Amicalement
  • Bonjour, Remmert traite des idéaux de type fini de fonctions holomorphes sur un domaine dans Classical topics in complex function theory (ou bien Funktionentheorie II (en allemand) chez Springer. Il y prouve qu'un idéal de type fini est principal via la notion de diviseur.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Est-ce que tu peux expliquer pourquoi cet ideal n'est pas engendre par les $f_ig_j$?
    M.
  • $(x) \cap (x) \neq (x*x)$.
  • ok, donc l'ideal contient celui des f_ig_j, et est contenu dans le radical de ce dernier
    Mauricio
  • Attention gille ici ce sont des fonctions analytiques REELLES pas holomorphes.
    Mais je vais regarder ce que tu dis peut-être que ça s'adapte.
  • désolé...Il arrive toujours un moment où on se rend compte dans la vie que savoir lire peut servir; qui plus est on est dans le cas à $n$ variables ce que je n'avais pas vu non plus; Remmert traite du cas à une variable complexe effectivement.:-(
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Pour ceux qui veulent la réponse cela vient du fait que le faisceaux des fonctions analytique est cohérent et que l' intersection de deux sous-faisceaux d'un faisceau est cohérent (cf Gunning and Rossi....).
    Rassurer vous j'ai pas trouver ça tout seul...
  • Dans le cas coherent, ca me semble a peu pres clair (c'est une sorte de Mayer-Vietoris, non?) mais il me semble que tu n'a pas suppose tes ideaux coherents mais simplement de type fini...
    Mauricio
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