formule de Taylor-polynômes

Bonjour, voilà je prépare la leçon sur les polynômes et je bloque sur la preuve de la formule de Taylor pour les fonctions polynômes, qui dit que :
Si $P$ est une fonction polynôme non nulle de degré $n$ et si $a \in K$ alors on a :
$$\forall x \in K,\ P(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^{k}$$
Je procède alors par récurrence, je vérifie que ma proposition est vraie pour $n=0$, et je la suppose vraie pour $n$ fixé dans $\N$, seulement que dois-je supposer alors que mon polynôme est de degré $n$ ou $n+1$ ?
Merci, c'est très bête, mais j'ai un doute...

[Merci à Mk1844 Pour la correction du LaTeX. AD]

Réponses

  • Bonjour

    tu supposes P de degré n+1 et tu appliques ton hypthèse de récurrence à P' je pense.
  • Désolé je n'avais pas vu que c'était pour des polynômes, j'ai retiré le reste.
    Sinon, une fois que tu as supposé la proposition vraie au rang $n$,tu dois prendre un polynôme de dedgré $n+1$ et vérifier la proposition pour ce polynôme en utilisant l'hypothèse de récurrence, je t'apprends rien.

    Bon courage
  • en fait ca m'aurait arrangé qu'il soit de degré n comme ca, la dérivée (n+1) de P était nulle, mais si ce n'est pas le cas, je vois pas comment retomber sur P(x) au rang n+1..................?
  • La famille des $({(X-a)}^k)_{k=0..n}$ est une base de l'espace $K_n[X]$. Ainsi, tout polynome se décompose suivant cette base: il s'agit donc de déterminer les coefficients apparaissant dans cette décomposition.

    Celà revient a déterminer les formes coordonnées associées a cette base, c'est a dire déterminer la base duale: elle est constituée des $f_k(P) = \frac{P^{(k)}(a)}{k!}$ (il s'agit de vérifier les relations de Kronecker).

    Si on ne veut pas parler de dualité, le calcul reste le même: le terme constant s'obtient en évaluant le polynome en a, le coefficient de $(X-a)$ en évaluant sa dérivée en a, et ainsi de suite.
  • On peut aussi raisonner par linéarité en montrant la formule pour les $(X-a)^k$.

    Amicalement
  • merci à tous, je vais étudier ca
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