L41 Rotations planes, notions d'angles

novice

Bonjour, je prépare cette leçon pour le CAPES et je voulais savoir, si vous jugez indispensable de parler des angles de droites, et de demi droites, ou si on ne pouvait pas juste se contenter d'introduire et de définir les angles de deux vecteurs unitaires ?
Merci beaucoup !

Bruno

Bonjour novice.

Tu as vingt cinq minutes d'exposé. Qu'en penses-tu ?

Bruno

Rémi Chautard

Le problème c'est qu'on peut définir un angle de plusieurs façons, selon qu'on parle d'angles de droites, de demi-droites, de vecteurs, de complexes !
Mais vu l'intitulé de la leçon, la rotation vectorielle pourrait être un bon point de départ...
Enfin, vu les notes que j'ai eu à l'oral, je ne suis sans doute pas de bon conseil !!

novice

ben en fait, 25mn, d'accord mais ca passe tres vite, selon les preuves qu'on expose, ou si on prend le temps de bien exposer ou pas. Donc, je peux faire 25 sans comme avec si jamais je vais tres vite, ou que je me sers des transparents. Sinon mon plan, est de commencer, par les rotations (composée de reflexions), auxquelles j'associe les rotations complexes, pour enfin finir sur les notions d'angles.

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Parler de rotation avant de parler d'angle je trouve cela assez chaud. Personnellement je ferais l'inverse, car écrire partout cos(theta) sans dire ce qu'est theta...
Après je ne sais pas ce qu'attend un jury de Capes.

novice

je ne parle pas de cos(teta)...

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novice> Tu veux parler des rotations comme composées de deux symétries, et à ce moment là, tu ne vas pas leur parler de l'angle entre les deux axes de symétrie ?
Tu vas juste leur dire qu'on apelle rotation la composée de deux symétries et c'est tout ?

novice

oui exactement, le prof nous a conseillé cela... t'aurais fait quel plan toi?

Bruno

Bonjour novice.

Ton prof n'a certainement pas limité ses conseils à cela ; il a sans doute donné d'autres idées ?

Bruno

novice

en fait non bruno, car il trouve celle lecon tres compliquée, et là à trouver le plan tres bien fait, donc quand une lecon est difficile, et que la lecon proposée est tres bien à son gout, il nous conseille de la reprendre ainsi. Par contre pour la partie angle, le garcon qui l'a exposé a parlé des angles de droites, et à la fin, mon prof a dit, que ce nétait pas obligé, mais ca j'en suis pas certaine...

Bruno

Pour être franc, il y a dix ans je proposais de partir effectivement de la composée de deux symétries d'axes sécants car l'exposé induisait cette démarche : "Réflexions et rotations planes"

Comme les tenants de l'introduction des angles par les rotations ont obtenu le libellé actuel, je ne suis plus convaincu de la justesse de cette position.

Bruno

novice

D'accord Bruno, en fait moi, j'introduis les angles grace à une relation d'équivalence, basée sur les rotations vectorielles, qui elles-meme sont associées à des rotations, c'est pour cela que j'ai choisi ce plan :
rotations planes, rotations vectorielles, notions d'angles (qui en plus suit l'ordre du titre, meme si ca on s'en fiche un peu).

Mais que proposerais-tu toi? car je trouve interessant de voir d'autres idées.

Bruno

Donnes-moi quelques heures de réflexion s'il te plaît.

Bruno

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Une autre chose qui m'est venue à l'esprit : les symétries sont des symétries ORTHGONALE donc l'angle droit est déjà défini, mais alors les autres aussi, car qui dit angle droit, dit produit scalaire et dit alors angle quelconque.
Donc autant commencer directement par les angles.
Parceque la question :
* c'est quoi une symétrie ?
* Comment vous les définissez ?
* ça veut dire quoi orthogonale ?
* etc.
vont faire très mal sinon et le jury s'en donnera à coeur joie, il est payé pour cela.

novice

ah oui bien vu spammer, ahlala que c'est compliqué!!! bon en tout cas merci pour vos conseils, et si vous avez des conseils je suis toute ouïe...

Bruno

Là tu n'as pas nécessairement raison car on peut définir la projection orthogonale sans avoir recours à la notion d'angle droit. Si $D$ est une droite et si $M$ est un point il existe un point $H$ de $D$ qui optimise la distance $d(M,N)$ lorsque $N \in D$. C'est ce point que l'on appelle etc.

Je ne dis pas que c'est praticable en lycée, mais ça tient la route.

Bruno

P.S. Je suis bien d'accord avec vous que cet exposé est assez compliqué à élaborer. Par contre, s'il tient la route, il doit payer.

P.P.S. Le jury n'est pas payé pour s'en donner à coeur joie

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Bruno> Et la distance c'est quoi ? Elle vient d'un produit scalaire en général ou permet directement d'en définir un.

Bruno

Bonjour Spammer.

A moins de partir bille en tête d'un espace affine euclidien, je pense que l'on peut prendre la distance pour une notion première vérifiant notamment la relation $M \in [AB]$ ssi $AB = AM + MB$.

Pour novice,

Il me revient en tête que cet exposé est pratiquement explicité dans le livre "Préparation à l'oral" (?) de Brigitte BAJOU, Michaël Ranguin et Xavier Sorbes chez MASSON.

Malheureusement, il ne me semble pas qu'il parviennent à éviter une approche matricielle.

Bruno

geo

je pense que pour cette leçon il est préférable de prendre pas mal de prérequis ou d'enoncer plusieurs théorèmes qu'on ne démontre pas pendant l'exposé.En effetr c'est trop long à démontrer et il faut faire attention à la notion de mesure d'un angle car au final c'est ce qu'on veut; mesurer les angle et ne plus s'occuper des classes d'équivalences...

je vais éssayer de la faire car je ne l'ai jamais faite.Mes profs aussi disaient qu'elle était compliquée et qu'on pouvait se ramasser dessus.

novice

Geo, pour la mesure d'angle, apparemment tu n'es pas obligé d'en parler, ni meme de faire une ouverture dessus (ce qui peut néammoins etre tres apprécié), par contre apparemement, c'est vrai qu'il est indispensable de connaitre le schéma (partir de U*U/R pour aller dans R/2piZ). Sinon j'irai regarder ce bouquin Bruno, merci pour le conseil.

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> A moins de partir bille en tête d'un espace affine
> euclidien, je pense que l'on peut prendre la
> distance pour une notion première vérifiant
> notamment la relation $M \in $ ssi $AB = AM +
> MB$.

Je pense qu'il faut lui imposer plus de choses, là cette définition est beaucoup trop restrictive. Et malgré tout une fois la distance là l'angle droit et les autres débarquent tout de suite, pourquoi s'en priver et vouloi à tout prix définir les rotations sans notion d'angle.

Après que le sujet soit difficile, oui c'est normal, ya un peu le même style de leçon à l'agreg et elles sont là pour vraiment jauger le candidat. Mais il ne faut pas fuir devant la difficulté, car un capesien incapable de définir correctement un angle, ce sont des élèves qui écoperont derrière. C'est toujours eux que l'on sacrifie, quel dommage.

Personnellement je troucerai cela honteux que l'on donne le capes à qqn qui ne peut définir un angle correctement.

Bruno

Pour Spammer.

Dans la lecture que tu as faite de ma réponse, tu as oublié le "notamment" qui montre bien que je suis parfaitement conscient de l'insuffisance des propriétés que j'ai énoncées.

Après que le sujet soit difficile, oui c'est normal, ya un peu le même style de leçon à l'agreg et elles sont là pour vraiment jauger le candidat. Mais il ne faut pas fuir devant la difficulté, car un capesien incapable de définir correctement un angle, ce sont des élèves qui écoperont derrière. C'est toujours eux que l'on sacrifie, quel dommage.

Personnellement je trouverai cela honteux que l'on donne le capes à qqn qui ne peut définir un angle correctement.

Je pense que tu dois mettre en pratique tes idées et, si tu es au moins certifié, écrire au président du jury afin d'intégrer celui-ci.

Enfin, tu joues à un petit jeu assez confortable : tu me demandes ce qu'est la distance et tu prônes l'utilisation des angles dans la définition des rotations. Mais quelle définition des angles orientés proposes-tu ? Parce que définir correctement les angles géométriques, ce n'est pas un problème, la question est celle des angles orientés et c'est de ceux-là que tu as besoin pour définir les rotations par le biais des angles. C'est bien là que le serpent se mord la queue.

Bruno

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> Mais quelle définition des angles
> orientés proposes-tu ?

Personnellement je n'oriente pas les angles (je suis contre, ça n'a aucun sens) ou alors je définis une mesure des angles à partir du couple (cos, sin) qui identifie bien les angles. Bien sûr pour des élèves je passerai du temps à leur expliquer que le couple (cos, sin) est suffisant en leur faisant un joli dessin du cercle trigonométrique (le même que celui que nous faisait ma prof de maths au collège).

Et pour avoir ce couple je prends les coordonnées d'un point sur le cercle trigonométrique (c'est d'ailleurs ainsi que font les professeurs au collège je crois).

On peut aussi définir les rotations comme certaines isométries, mais je sais que c'est un truc que peu de professeurs présenteront à leurs élèves comme première approche des rotations.

A la limite on peut faire tenir les deux points de vue dans une leçon (je n'ai passé que l'agreg mais le principe doit être le même je pense).

Et désolé pour le notamment que j'ai zappé.

Bruno

En ce qui me concerne, mais il s'agissait d'un cours de seconde année de Deug, la distance dans le plan affine étant définie par une forme quadratique, on en déduit le produit scalaire puis les automorphismes orthogonaux du plan vectoriel. Rien que de très classique dans tout cela. On définit les angles géométriques de couples de vecteurs unitaires et leur mesure ; puis les rotations du plan vectoriel qui sont ses automorphismes orthogonaux directs et la notion d'angle orienté. Enfin, on parle de leur mesure.

Mais mine de rien, tout ceci utilise la machinerie linéaire et bilinéaire dont on ne dispose pas au niveau du lycée (sans parler du collège).

Bref, je reste perplexe : d'une part, on peut sans difficulté majeure parler d'angles géométriques avant les rotations ; mais je maintiens que "notion d'angle" dans le libellé de l'énoncé de l'exposé vise les angles orientés et pas les angles géométriques avec au bout (mais on n'a pas le temps d'en parler) la notion d'angle d'un déplacement plan.

Bruno

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> mais je maintiens que "notion d'angle" dans le libellé de l'énoncé de l'exposé vise les angles orientés

Mais ça c'est à moitié écrit dans l'énoncé.