Calcul d'une différencielle

Jimmy

Bonjour,

Svp, pouvez-vous me dire ce que vous trouvez pour $\displaystyle \frac{\partial ^2 g}{\partial u^2} \, (u,v)$, sachant que $\displaystyle \frac{\partial g}{\partial u}\, (u,v) = \frac{\partial f}{\partial x} \, (u, v+ \frac{1}{2} u^2)$?

Merci à vous.

egoroff

Salut,

C'est une dérivée, pas une différentielle. Autant poser $h(u)=\frac{\partial f}{\partial x}(u,v+u^2/2)$, et calculer $h'(u)$. Je trouve $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(u,v+u^2/2)+u\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(u,v+u^2/2)$.

Jimmy

Merci, je trouve pareil!! Bonne journée.

Jimmy

Excuse-moi egoroff, mais pourrais-tu tout de même détailler le calcul stp?

egoroff

Pas de problème. Je m'appuie sur la règle suivante : si $h(u)=F(a(u),b(u))$, si $a$ et $b$ sont dérivables et $F$ différentiable là où il faut, alors $h'(u)=a'(u) \frac{\partial F}{\partial x}(a(u),b(u))+b'(u) \frac{\partial F}{\partial y}(a(u),b(u))$. On peut la voir comme un particulier de la règle qui dit que si $F \, : \, \R^n \to \R^p$ et $A \, : \, \R^m \to \R^n$ sont différentiables, alors $F \circ A$ l'est aussi et $D(F \circ A)=D(F) \circ D(A)$, avec $m=p=1,n=2,A=(a,b)$. Ou on peut la redémontrer en écrivant :
$h(u+\delta)=F(a(u+\delta),b(u+\delta))$
$=F(a(u)+\delta a'(u)+\delta \varepsilon_1(\delta),b+\delta b'(u)+\delta \varepsilon_2(\delta))$
$=F[(a(u),b(u))+\delta(a'(u)+\varepsilon_1'(\delta), b'(u)+\varepsilon_2(\delta))]$
$=F(a(u),b(u))+ \delta D(F)(a'(u),b'(u)) + \delta DF (\varepsilon_1(u),\varepsilon_2(u))+o[\delta(a'(u)+\varepsilon_1'(\delta), b'(u)+\varepsilon_2(\delta))]$
Et on montre que $\eta(\delta)=\delta DF (\varepsilon_1(u),\varepsilon_2(u))+o[\delta(a'(u)+\varepsilon_1'(\delta), b'(u)+\varepsilon_2(\delta))]$ est un $o(\delta)$ (flemme).

Dans ton exemple on prend $a(u)=u$, $b(u)=v+u^2/2$.

Jimmy

J'ai du mal à faire apparaître le deuxième terme, celui avec $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x \partial y}$ ..

egoroff

J'ai oublié de dire que $F=\frac{\partial f}{\partial x}$, donc $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ et $\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$.