Algèbre Linéaire (Spé)
Réponses
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C'est loin d'être évident sans indication : on trouve une démonstration (en tout cas les idées et étapes) en cherchant "Gros sous-espaces de M_n(K)" dans les groupes de discussion avec google.
par exemple :
\lien{http://groups.google.fr/group/fr.sci.maths/browse_thread/thread/a6a88cfe733bad84/bff75e53ad20e69c?lnk=st&q=matrices+non+inversibles+} -
Tout d'abord merci pour le lien Guego, cependant je ne comprends pas le vocabulaire employé:
"L'espace engendré par les couples (tC,
est donc un sous-espace totalement isotrope de l'espace non-dégénéré des
couples de matrice à p lignes et (n - p) colonnes pour la
forme trace(tX . Y) "
Pourrais tu m'éclairer sur ce point? -
Je détaille complètement la fin (l'étape 3) qui, il est vrai, n'est pas forcément très claire :
Notons $W$ l'espace des couples de matrices à $p$ lignes et $n-p$ colonnes. C'est un espace de dimension $2p(n-p)$.
Sur cette espace $W$, il y a une forme quadratique $\Phi$, qui est définie par $\Phi((X,Y)) = tr(^t X.Y) = \sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$
Notons maintenant $V$ l'espace des $(^tC,B)$ où $B$ et $C$ sont des blocs de matrices d'éléments de $F$ (définis comme dans l'étape 2). C'est un sous-espace de $W$ qui est dit "totalement isotrope pour la forme quadratique" $\Phi$, c'est-à-dire que $\Phi(R) = 0$ pour tout $R\in V$. (attention, $R$ n'est pas une matrice : c'est un couple de matrices).
Or, $\Phi$ doit être non dégénérée (à vérifier) et un sous-espace totalement isotrope d'une forme quadratique non dégénérée a toujours une dimension inférieure à la moitié de l'espace total (exercice, qui se trouve d'ailleurs dans le Gourdon). Donc ici $dim(V) \leq \frac{1}{2} dim(W) = p(n-p)$.
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