Polynome + Arithmetique

einton

Je vous soumets un exercice que j'ai déjà proposé sur un autre forum. Noter que j'ai déjà une solution mais je veux voir s'il n'y pas de méthode plus courte (surtout) ou plus élégante (peut-être, je la trouve sympa ma solution). Voilà :

On note E = { (x,y) de IN^2, x,y > 2, PGCD(x,y)=1 }
et IP l'ensemble des nombres premiers.

Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P à deux variables et à coefficients entiers tel que l'image de E par P soit IP.

Julien21

<!--latex-->A priori, le même argument que dans le cas à une variable doit fonctionner : <IMG WIDTH="62" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26162/cv/img1.png&quot; ALT="$ P(X,Y)$"> devrait diviser <!-- MATH $P(X+P(X,Y),Y+P(X,Y))$ --><IMG WIDTH="219" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26162/cv/img2.png&quot; ALT="$ P(X+P(X,Y),Y+P(X,Y))$"> ...<BR><BR><BR>

einton

Il faut que X' = X + P(X,Y) et Y' = Y + P(X,Y) soient premiers entre eux.
Par exemple si X=3, Y=5 P(X,Y)=3 cela ne tient pas.
On a bien X',Y' > 2 si X,Y > 2 par contre.

Mais je ne vois pas comment la condition PGCD(X,Y)=1 intervient dans le cas une variable. Quel est ton énoncé dans le cas à une variable ?

Julien21

<!--latex-->Je ne l'ai pas sous la main, ça devrait être quelque chose du genre : si <!-- MATH $P : \mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Z}$ --><IMG WIDTH="85" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26164/cv/img1.png&quot; ALT="$ P : \mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Z}$"> est un polynôme à coefficients entiers ne prenant que des valeurs premières à partir d'un certain rang, alors <IMG WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26164/cv/img2.png&quot; ALT="$ P$"> est un polynôme constant.<BR>