equation diophantienne

mepy

bonjour à tous
une petite question (peut être idiote!): lors de la résolution d'une équation diophantienne, qu'est ce qui justifie le choix de la congruence selon laquelle on va travailler?
merci beaucoup

borde

La question est, à mon sens, bien trop vague pour espérer une réponse satisfaisante. Le choix d'une méthode de résolution d'une équation diophatienne dépend essentiellement...de l'équation elle-même, les stratégies pouvant alors être aussi nombreuses que les équations sont différentes.

Il faudrait que l'on puisse voir l'équation en question pour pouvoir en dire plus !

Borde.

mepy

je pense particulièrement à cet exercice: résoudre x²-y²=18 dans Z² et on préconise une congruence modulo 4

Richard André-Jeannin

x²-y²=2 (mod 4). Regardez les valeurs possibles du membre de gauche , modulo 4 (sachant que les carrés modulo 4 sont 0 et 1).

borde

Comme le dit RAJ, ici, c'est la présence des deux carrés qui fait penser à une congruence modulo $4$. Autrement dit, il faut penser "à l'envers" : connaître des propriétés de certaines congruences (en particulier $\mod 4$, $\mod 8$ et $\mod 9$), puis (tenter de) les appliquer à l'équation concernée. Autre exemple : savoir qu'un nombre premier $\geqslant 5$ ne peut qu'être $\equiv \pm 1 \pmod 6$ peut, parfois, permettre de débloquer des situations.

Borde.

jaybe

La résolution générale des équations diophantiennes est un problème indécidable. Donc (pour résumer de façon très grossière) on essaie au petit bonheur la chance...

Richard André-Jeannin

Dans le cas de x²-y²=18 (ou de x²-y²=k), on peut s'en sortir à la main.
Sans perdre de généralité, on peut supposer x>y>=0.

L'équation peut s'écrire: (x+y)(x-y)=18, ce qui donne les possibilités:
x+y=18 et x-y=1, ou bien
x+y=9 et x-y=2, ou bien
x+y=6 et x-y=3.

On peut aussi écrire x=y+h, avec h>=1, ce qui donne
2yh+h²=18.Si h est impair, le membre de gauche est impair et si h est pair, le membre de gauche est divisible par 4.

On peut généraliser en remplaçant 18 par un nombre de la forme 4k+2.

borde

...Et pour une équation $x^2-y^2 = n$ avec $n \geqslant 3$ impair et {\it composé}, le {\it test de Fermat} indique une solution vérifiant $\displaystyle {0 \leqslant y \leqslant \frac {n-9}{6}}$, ce qui peut parfois aider si $n$ n'est pas trop grand.

Oumpapah a cité ici, et ce, à maintes reprises, des livres de références sur les équations diophantiennes (Le Silverman et Tate, le Mordell, etc).

Borde.