arithmétique

pB0

bonjour,
je suis perplexe devant cette question :
on a un parallépipéde rectanle de base carrée de coté l et de hauteur L, des entiers
le pgcd de l et L vaut 12 et le volume vaut 77760.
Ils disent qu'il y a deux solutions au pb des dimensions je n'en voit qu'une

qlq verrait-il la seconde ?
Merci

Bruno6

<!--latex-->Si : l = 12 et L = 45 <IMG WIDTH="16" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26104/cv/img1.png&quot; ALT="$ \times$"> 12 !
<BR>
<BR>Pas commode à trouver, mais il faut chercher les carrés qui divisent 45;
<BR>
<BR>Bruno<BR>

.JJ

77760 = (2^6)(3^5)5
12 = (2^2)3
L = (2^2)3.N et l = (2^2)3.n
avec n non divisible par 2 ou 3.
l.L = (2^6)(3^5)5 = (2^4)(3^2).N.n
donc N.n = (2^2)(3^3)5
Les deux possibilités sont donc :
n = 1 et N = (2^2)(3^3)5
ou n = 5 et N = (2^2)(3^3)
ce qui donne les solutions :
Première : L = (2^4)(3^4)5 et l = (2^2)3
Seconde: l = (2^4)(3^4) et l = (2^2)(3)(5)

pB0

merçi , honte à moi

alain2

<!--latex-->Volume d' un parallélépipède rectangle : V=l<IMG WIDTH="8" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26141/cv/img1.png&quot; ALT="$ \cdot$">L<IMG WIDTH="8" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26141/cv/img1.png&quot; ALT="$ \cdot$">h
<BR>l' énoncé propose une base carrée : V=l²<IMG WIDTH="8" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/latex/26141/cv/img1.png&quot; ALT="$ \cdot$">L
<BR>
<BR>
<BR>l=12, L=540
<BR>l=36, L=60<BR>

.JJ

Merci Alain
et honte à moi, qui avait confondu aire du rectangle et volume du parallépipéde !!!
Correction :
77760 = (2^6)(3^5)5
12 = (2^2)3
L = (2^2)3.N et l = (2^2)3.n
avec N et n premiers entre eux.
V = l²L = ((2^2)3.n)²(2^2)3.N = (2^6)(3^3).N.n²
et V = (2^6)(3^5)5
donc N.n² = (3^2)5
Seul N peut être divisé par 5.
Les deux possibilités sont :
n = 1 et N = (3^2)5
ou n = 3 et N = 5
ce qui donne les solutions :
Première : L = (2^2)(3^3)(5) = 540 et l = (2^2)3 = 12
Seconde: L = (2^2)(3)(5) = 60 et l = (2^2)(3^2) = 36