calcul d'intégrale

mathelot

Bonjour,

Je souhaiterais calculer :
$$\displaystyle u_{n} = \int_{0}^{1} e^{x} x^{n} \mathrm dx$$
Merci pour vos réponses.

CQFD

Une intégration par parties donne :
$u_n=[e^{x}x^n]_{0}^{1}-n\int_{0}^{1}x^{n-1}e^{x}dx=e-nu_{n-1}$...

gilles benson

bonjour, il est possible d'obtenir une formule sommatoire pour ce genre d'intégrale en utilisant la formule d'intégration itérée:


Si $u \text{ et } v \text{ sont de classe } C^n$:

$$\int_{a}^{b} u(t)v^{(n)}(t)dt = [ \sum_{k=0}^{n-1} {(-1)}^k u^{(k)}(t)v^{(n-k-1)}(t)]_{a}^{b} + {(-1)}^n \int_{a}^{b} u^{(n)}(t)v(t)dt$$.

bon courage.

gb

La dérivée de $Q(x)e^x$ est $[Q(x) + Q'(x)]e^x$.
Si $P$ est un polynôme de degré $n$, cette dérivée sera $P(x)e^x$ pour $Q$ polynôme de degré $n$ avec $Q + Q' = P$, soit $Q = \sum\limits_{k=0}^n (-1)^kP^{(k)}$ puisque $P^{(n+1)} = 0$.

Dans ton cas, une primitive de $x^ne^x$ est $e^x\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k\dfrac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$, et ton intégrale vaut
$$e\,n!\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{(n-k)!}-(-1)^nn!$$

gilles benson

bonjour, en faisant $u(t) = t^n \text{ et } u^{(k)}(t)= k! \binom{n}{k} t^{n-k} \text{ et } v(t)= e^t$, on obtient le résultat de gb (ce que je laisse à vérifier).

mathelot

Bonjour,

Si vous pouviez me calculer cette intégrale par une méthode classique, je vous en serais très reconnaissant.
$$ v_{n}= \int_{0}^{1} \arctan(x) x^{n}\, \mathrm dx$$
Merci beaucoup.

GERARD à la maison

Bonjour.

Le calcul est classique,par parties, puisqu'on connaît la dérivée de Arctan

Cordialement

GERARD à la maison

Et il ne donne pas une récurrence, mais un calcul "direct".

mathelot

bonjour,

Quelqu'un a une idée pour étudier la limite de la suite:

$\displaystyle u_{n}=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{{(-1)}^k}{2k+1}+\frac{{(-1)}^{k+1}}{2k+n+2}$

Merçi d'avance pour votre aide.

gb

Il me semble que $\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{2k+1}$ est constant et que $\dfrac{(-1)^{k+1}}{2k+n+2}$ tend vers 0, la limite est donc $\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{2k+1} = \dfrac{\pi}{4}$.

Joaopa

y'a combien d'exos dans ta fiche?

Joaopa

mathelot

Merci beaucoup.

Euh, la fiche c'est mon imagination. Je cherchais une relation entre $\pi, \gamma$ et $\ln(2)$. J'ai vu sur Wiki qu'une telle relation existe mais c'est bizarre car elle fait intervenir
$\pi$ par son log, $ \ln( \frac{4}{ \pi} ) $ et pas $ \frac{\pi}{4}$ .

$ \displaystyle \gamma = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x-1}{ \left( 1-xy \right) \ln (xy) } \mathrm dx\mathrm dy$
et

$ \displaystyle \ln ( \frac{4}{\pi} ) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x-1}{ \left( 1+xy \right) \ln (xy) } \mathrm dx\mathrm dy$

Belles formules à unifier avec l'intégrale d'une fonction complexe sur un chemin d'une variété de $\mathbb{R}^{4}$ ?

mathelot

bonjour,

Que peut on dire de la limite de

$\displaystyle \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{4k+3} - \frac{1}{4} \ln(p)$ ?

Cordialement,

gb

Dixit Maple, la limite est
$$\dfrac{3}{4}\ln 2 - \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\gamma}{4} - \dfrac{1}{3}.$$

Si tu fais commencer ta somme à $k=0$ au lieu de $k=1$, tu obtiens bien évidemment la valeur plus simple
$$\dfrac{3}{4}\ln 2 - \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\gamma}{4}.$$

mathelot

merçi beaucoup.

mathelot

merçi gb,

c'est bizarre, je fais des petits bidouillages de séries (je n'ai que le Capes)
et j'obtiens toujours, merçi Maple, que des combinaisons linéaires triviales entre
$1$, $\pi$, $\gamma$ et $\ln(2)$

Ils sont comment ces nombres au final, quel résultat a t on sur leur indépendance algébrique ?

D'après ce que j'ai vu sur Wiki, il y a une sorte de "dualité" entre
$\gamma$ et $\ln( \frac{4}{\pi} )$


Cordialement,

gb

Je reviens sur ta limite : soit
$$u_n = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{4k+3} - \dfrac{1}{4}\ln(n),$$
on fait intervenir $\gamma$ via la série harmonique :
$$u_n = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{4k+3} - \dfrac{1}{4}\left(\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \gamma - \varepsilon_n\right)$$
et la limite de $u_n$ est
$$\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{4k+3} - \dfrac{1}{4k}\right) + \dfrac{\gamma}{4}$$
puisque la série est bien évidemment convergente.

mathelot

> $$\sum\limits_{k=1}^{+\infty}
\left(\dfrac{1}{4k+3} - \dfrac{1}{4k}\right) $$
Comment détermine-t-on la valeur exacte de cette limite ?

Cordialement

gb

Classique :
$$\frac{1}{4k+3} - \frac{1}{4k} = \int_0^1 (x^{4k+2} - x^{4k-1})\,dx$$
puis
$$\sum\limits_{k=1}^n \left(\frac{1}{4k+3} - \frac{1}{4k}\right) =
\int_0^1 \sum\limits_{k=1}^n (x^{4k+2} - x^{4k-1})\,dx = \int_0^1
(x^6 - x^3)\frac{1-x^{4n}}{1-x^4}\,dx = I - I_n$$
avec
$$I = \int_0^1 \frac{x^6 - x^3}{1-x^4}\,dx = -\int_0^1 \frac{x^3(x^2+x+1)}{(x^2+1)(x+1)}\,dx = \frac{3}{4}\ln 2 - \frac{\pi}{8} - \frac{1}{3}$$
à l'aide d'une décomposition en éléments simples, et
$$I_n = \int_0^1 (x^6 - x^3)\frac{x^{4n}}{1-x^4}\,dx = -\int_0^1 \frac{x^3(x^2+x+1)}{(x^2+1)(x+1)}x^{4n}\,dx$$
Pour $x$ dans $[0,1]$, on a
$$0 \leq \frac{x^3(x^2+x+1)}{(x^2+1)(x+1)} \leq 3$$
donc
$$\vert I_n \vert \leq \int_0^1 3x^{4n}\,dx = \frac{3}{4n+1}$$
ce qui prouve que $I_n$ est de limite nulle et que
$$\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{4k+3} - \frac{1}{4k}\right) = I.$$

mathelot

merçi beaucoup. Je vais lire attentivement ton calcul.

Je repose deux questions, à tout hasard:


$$ \displaystyle \gamma = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}
\frac{x-1}{ \left( 1-xy \right) \ln (xy) } \mathrm
dx\mathrm dy$$


$$ \displaystyle \ln ( \frac{4}{\pi} ) =
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x-1}{ \left( 1+xy
\right) \ln (xy) } \mathrm dx\mathrm dy$$

est-ce que l'on sait unifier les deux formules ?

Est ce que $1, \gamma, \pi et \ln(2)$ sont linéairement indépendants ?
ah zut,on ne sait pas puisque la nature algébrique de $\gamma$ n'est pas connue.
Dommage.

mathelot

bonjour,



1) soient $u$ et $v$ deux entiers naturels , $u \geq 2$ , $v \in [1;u-1]$

est-il possible de décomposer la fraction rationnelle
en éléments simples:

$$\displaystyle x^{u-v-1} \frac{x^{v}-1}{x^{u}-1}$$


2)

Peut on intégrer l'expression ($x \in [0;1]$) :

$$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}= \frac{-i}{2} \left( \frac{1}{x-i}-\frac{1}{x+i} \right)$$


Merçi pour vos explications.

Cordialement,