Capes 2007 algèbre-géométrie

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Réponses

  • Bonjour,

    pour l'ordre lexicographique qu'est ce que tu appelles rédiger proprement c'est pour la transitivité?

    La III 1b) en décomposant en deux éléments de B strictement plus petits le procédé s'arrete en au plus Card(R+) étapes.

    Je me posais la même question pour montrer que le groupe est fini,il est engendré par un nombre fini d'éléments d'ordre deux mais ca ne suffit pas pour conclure car le produit de deux éléments peut etre d'ordre infini.

    Tu as une solution pour l'exo que tu avais posté avec l'indicatrice d'Euler(pas celui la l'autre)?
  • Bonjour,
    Vous avez à l'adresse donnée ci-dessous, de la page 60 à 63 je crois, une partie correspondant au sujet de Mardi : le tableau à obtenir à la fin du I)1)e ) et presque toute la partie III (B base de Rn)
    http://boumbo.toonywood.org/xavier/maths/keller.pdf
  • Bonjour, concernant la question que tu te poses

    <<Et surtout, à la partie III, comment démontrer que W est un groupe fini : je suis d'accord sur le fait qu'il est finiment engendré, mais fini ... Je vois pas >>

    je l'ai rédigé de la sorte au moment de l'épreuve :

    On note $R=\{\alpha_1,..., \alpha_r \}$

    Soit $f \in W$. $f$ conserve $R$, $f$ est injectif, donc il existe une permutation $\sigma$ telle que pour tout $k$ compris entre $1$ et $r$, $f (\alpha_k)=\alpha_{\sigma(k)}$. Or il existe au plus une application linéaire qui vérifie cette propriété, car $R$ engendre $\R^n$. Par conséquent le cardinal de $W$ est majoré par le nombre de permutations de l'ensemble $R$, qui vaut $r!$.
  • Pour la III1)b), on peut procéder ainsi


    Notons $R^+=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$ tel que $\alpha_1<\ldots<\alpha_n$.

    Montrons par récurrence que $\alpha_p$ est une combinaison linéaire de
    racines simples à coefficients entiers positifs ou nuls pour
    $p\in\{1,\ldots,n\}$.

    Considérons le cas $p=1$. Si $\alpha_1 \in B$ c'est bon. Sinon d'après
    la question précédente, $\alpha_1=\beta+\beta'$ avec $\beta$ et
    $\beta'$ deux racines positives strictement plus petites que
    $\alpha_1$. Ceci n'est pas possible car il n'y a pas de racines
    positives plus petites que $\alpha_1$.

    Supposons la récurrence établie JUSQU'AU rang $p$ (avec un $p$ tel que
    $1\leq p \leq n-1$).
    Montrons-la au rang $p+1$. Si $\alpha_{p+1} \in B$ c'est bon. Sinon on
    a $\alpha_{p+1}=\beta+\beta'$ avec $\beta$ et $\beta'$ deux racines
    positives strictement plus petites que $\alpha_{p+1}$ c'est-à-dire
    $\beta=\alpha_i$ et $\beta'=\alpha_j$ avec $(i,j)\in\{1,\ldots,p\}^2$.

    L'hypothèse de récurrence s'applique à $\alpha_i$ et $\alpha_j$. On en
    déduit que $\alpha_{p+1}$ est bien une combinaison linéaire de racines
    simples à coefficients entiers positifs ou nuls.
  • Pour la transitivité de $\leq$ dans II2b, on peut procéder ainsi:

    Soit $(x,y,z) \in ({\Bbb R}^n)^3$. Supposons que $x\leq y$ et $y \leq
    z$. On traite d'abord les cas triviaux où $x=y$ et $y<z$, $x<y$ et
    $y=z$ et $x=y=z$.

    On se place à présent dans le cas $x<y$ et $y<z$.

    Avec des notations évidentes, il existe un indice $i$ tel que
    $x_1=y_1, \ldots, x_{i-1}=y_{i-1}$ et $x_i<y_i$. (Soit dit en passant,
    on a forcément $i\geq 2$.)
    De même, il existe un indice $j$ tel que
    $y_1=z_1, \ldots, y_{j-1}=z_{j-1}$ et $y_j<z_j$.

    Supposons par exemple que $i\leq j$. On a alors $x_1=z_1, \ldots,
    x_{i-1}=z_{i-1}$ et $x_i<z_i$ (car $x_i<y_i$ et $y_i=z_i$). Ce qui
    signifie que $x<z$.

    On raisonnerait de même si $i\geq j$.
  • En réponse à blue_matematics 3 messages plus haut.

    Bien vu. On peut aussi majorer plus grossièrement en disant qu'une application $f$ du groupe $W$ est une application linéaire caractérisée par la donnée des images des $\alpha_i$ (car les $alpha_i$ engendre ${\Bbb R^n}$). De plus $f(R) \subset R$. Donc le cardinal de $W$ est majorée par le cardinal de $R^R$ (les applications de $R$ dans $R$) soit $r^r$.
  • Désolé Marc, pas de solution pour l'exercice sur l'indicateur d'Euler.
    Merci à tous pour vos réponses. Je poursuis ce problème !
  • blue_matematics Écrivait:
    > On note $R=\{\alpha_1,..., \alpha_r \}$
    >
    > Soit $f \in W$. $f$ conserve $R$, $f$ est
    > injectif, donc il existe une permutation $\sigma$
    > telle que pour tout $k$ compris entre $1$ et $r$,
    > $f (\alpha_k)=\alpha_{\sigma(k)}$. Or il existe au
    > plus une application linéaire qui vérifie cette
    > propriété, car $R$ engendre $\R^n$. Par conséquent
    > le cardinal de $W$ est majoré par le nombre de
    > permutations de l'ensemble $R$, qui vaut $r!$.


    Ou de manière plus élégante : $W$ agit fidèlement sur $R$, donc on a un homomorphisme de groupes injectif $\varphi:W\to\mathcal{S}(R)$.
  • salut quelqu un peut il me dire le plan rouvé pour(0,0)<(x,y)?merci
  • Salut,

    ce n'est pas $(0,0)<(x,y)$ mais $(0,0) \leq (x,y)$ (tu m'as fait flipper sur le coup lol)

    Ben on a $(0,0)\leq (x,y)$ si et seulement si $x=y=0$ ou $x>0$ ou [$x=0$ et $y>0$]. Apres pour dessiner ca ce n'est pas tres difficile.
  • Pensez à exclure la demi-droite (y<0)! Je pense qu'il faut le faire par exemple en repassant en noir l'autre moitié de l'axe des y avec le petit symbole de limite de segments tourné vers le haut en zéro, et en marquant explicitement que la demi-droite inférieure ne fait pas partie du domaine.

    Amicalement
    Volny
  • Une chose m'a interpellé dans leur sujet : dans la partie 5 (groupes diédraux), question 1 :
    Soit $p$ $\in\N$, $p \geq 2$. On appelle groupe diédral d'ordre $2p$, Noté $D_{2p}$, le groupe des isométries laissant invariant un polygône régulier à $p$ sommets. [...]
    Si $p = 2$, on a $D_4$, mais c'est quoi géométriquement un polygône à deux cotés ?
    Merci !
  • Ce n'est pas un polygone à deux côtés, mais à deux sommets ... c'est-à-dire un segment, dont le groupe d'isométries est effectivement $D_4$ à 4 éléments.

    Je rappelle que dans {\it polygone}, le radical "gone" signifie "angle" et non "côté" : un triangle à trois angles, un pentagone a cinq angles ; seul le quadrilatère a quatre côtés.
  • Tu dois être capable de faire toutes les PARTIES, sinon retourne travailler les maths à la FAC...
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