Dérivable non C1

CQFD

Bonjour à tous.
Je cherche un exemple de fonction dérivable en un point dont la dérivée n'est pas continue en ce point.
Il y a l'exemple classique $x\longmapsto x^{2}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sauf que j'en cherche un ne faisant pas intervenir de fonction trigonométrique.
Pourriez-vous m'en trouver (voire bidouiller) un ?
Merci d'avance.

galax

bonjour CQFD

x---> |x - a | convient .

Sincèrement,

Galax

CQFD

Sauf erreur, cette fonction n'est pas dérivable en $a$.
Or, je cherche une fonction dérivable en $a$ dont la fonction dérivée n'est pas continue en $a$, l'expression de cette fonction ne faisant pas intervenir de fonction trigo...
(Peut-être que ma question n'était pas claire)

Yop0

La fonction définie par $x\mapsto x^21_{\Q}$ ?

Richard André-Jeannin

Bonsoir CQFD. La question n'est pas très claire:

"Je cherche un exemple de fonction dérivable en un point dont la dérivée n'est pas continue en ce point"

Si la dérivée n'est pas continue en ce point, c'est qu'elle existe ailleurs, alors que la fonction est supposée dérivable uniquement en ce point (voir la réponse de Yop).

CQFD

Je réalise que la question était mal formulée.
Je cherche, par exemple, une fonction $f$ continue et dérivable sur $\R$ telle que $f'$ est continue sur $\R\setminus\{0\}$ (et donc pas en $0$).
Par ailleurs, je voudrais que l'expression de cette fonction ne fasse pas intervenir de fonction trigonométrique (sinon, j'ai l'exemple $x\longmapsto x^{2}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$).

bosio frederic0

J'ignore pourquoi tu ne veux pas de fonction trigonometrique, mais je doute qu'on puisse obtenir une formule plus simple. Il faudra immanquablement faire intervenir des fonctions qui oscillent assez fortement et je vois mal comment faire plus simple. Tu peux toutefois t'en sortir en recollant des bouts de polynomes definis sur des intervalles de plus en plus petits qui tendent vers 0 mais cela te satisferait il plus ?

CQFD

Je voudrais illustrer à des élèves qui n'ont jamais utilisé de fonction trigo que dérivable en un point ne signifie pas que la fonction dérivée est continue en ce point (il s'agit d'élève de ECE1, je précise).
Ca me rassure de voir qu'il n'existe, a priori, pas d'exemple évident avec la condition que je me suis imposée

éfix0

On peut s'en sortir avec des expressions du type exp(-1/x²), qu'on peut prolonger par continuité en 0.
Ces fonctions sont même de très bons exemples de fonctions non dérivables en 0 mais qui admettent un DL(0) à tout ordre.
Sauf erreur...

CQFD

eifx : oui, tu as raison mais je ne veux pas que la fonction dérivée soit continue (ou prolongeable par continuité) en 0.

jean

éfix: bien au contraire, contrairement aux apparences, $e^{-1/x^2}$ est un exemple typique de fonction $C^\infty$ sur $\R$ (c'est à partir de ce type de fonctions qu'on construit des fonctions régulières à support compact).

CQFD

Je n'avais pas lu qu'efix avait écrit que la fonction était non dérivable en 0... ce que Jean a corrigé à juste titre !

egoroff

D'ailleurs une fonction est dérivable en un point si et seulement si elle admet un DL d'ordre 1 en ce point, donc il y a une belle incohérence dans le post d'éfix.. disons que c'est une faute d'étourderie !

Je suis un peu surpris que les élèves d'ECE n'aient pas connaissance des fonctions trigo, il me semblait qu'à l'époque où j'étais en prépa ils avaient un programme plutôt fourni (même si c'était plus light que les ECS). C'est dommage parce que c'est une source inépuisable d'exemples en analyse ! Tu peux toujours refabriquer une oscillation du style $x^2 \sin 1/x$ par exemple en recollant des polynômes de degré 3 sur les $[1/(n+1),1/n]$ de sorte que $f(1/n)=(-1)^n/n^2$ et $f'(1/n)=0$ pour tout $n$ mais ça risque d'être beaucoup de boulot et de paraître artificiel...

CQFD

Le programme d'ECE s'est allégé : plus de fonction trigo, plus de déterminant (je crois même qu'il n'y en a plus en ECS !).
Tant pis s'il n'y a pas d'exemple "simple" (cad pas "artificiel" comme tu le dis)...

Ludovic

Puisque tu n'as pas la fonction trigo, la seule méthode pour l'illustrer est un joli dessin d'une fonction qui ressemble à $( x \mapsto x^2 \sin(\frac{1}{x}))$.

Cela dit. Cela parait bien artificiel d'introduire la nuance entre dérivable et continuement dérivable alors que l'on n'a pas sous la main les fonctions les plus usuelles. Est-ce les programmes qui l'imposent ou cherches-tu seulement à éveiller leur curiosité?

CQFD

Non, le programme ne l'impose pas; éveiller la curiosité mathématique d'étudiants en ECE paraitrait bien ambitieux; simplement, je voudrais (voulais) leur montrer qu'il ne faut pas écrire, après avoir dérivé, "comme f' n'est pas continue en a alors f n'est pas dérivable en a" avec un exemple à l'appui. C'est une erreur un peu trop fréquente, hélas...
En tt cas, merci à tous d'avoir réfléchi à ma question.

egoroff

Eh beh c'est triste ! Bon, en même temps, les maths en prépa HEC ça ne sert pas à grand monde après.. c'est peut-être moins dramatique que les coupes de programme en filière scientifique.

Pour en revenir au contre-exemple cherché, on peut faire un truc pas trop lourdingue à condition de démontrer des petits lemmes préliminaires. Si $f$ est une fonction affine on note $p(f)$ sa "pente".

1) Etant donné deux réels $a \neq b$ il existe une et une seule fonction affine $f_{a,b}$ telle que $f_{a,b}(a)=-1$ et $f_{a,b}(b)=1$ ; $f_{a,b}$ est bijective, sa réciproque notée $g_{a,b}$ est affine et telle que $g(-1)=a$ et $g(1)=b$, on a $p(f)=\frac{2}{b-a}$ et $p(g)=\frac{b-a}{2}$.

2) Si $Q$ est dérivable et $f$ et $g$ sont deux fonctions affines alors $F=g \circ Q \circ f$ est dérivable et $F'=p(f)p(g)Q \circ f$.

3) Le polynôme $Q=\frac{3}{2}X-\frac{1}{2}X^3$ vérifie $Q(-1)=-1$, $Q(1)=1$, $Q'(-1)=Q'(1)=0$.

On définit alors les suites $u_n=\frac{1}{n}$, $v_n=\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}$ et la fonction $F_n$ sur $[u_{n+1,u_n}]$ par $F_n=g_{v_{n+1},v_n} \circ Q \circ f_{u_{n+1},u_n}$. On vérifie que les $F_n$, $n \geq 1$ se recollent bien en une fonction $F$ de classe $C^1$ sur $]0,1]$, vérifiant $F(u_n)=v_n$, prolongeable par continuité en $0$ dès que $\alpha>0$, prolongement qui est dérivable en $0$ dès que $\alpha>1$. D'autre part : $$F'_n=(\cdots)=\frac{n^{\alpha}+(n+1)^{\alpha}}{n^{\alpha-1}(n+1)^{\alpha-1}}Q' \circ f_{u_{n+1},u_n}$$
En particulier $F' \left( \frac{u_n+u_{n+1}}{2} \right) \sim 3n^{2-\alpha}$ ne tend pas vers $0$ si $\alpha \leq 2$. S'il y en a encore qui suivent à ce moment-là c'est un miracle...

AD

Bonsoir CQFD

Une curiosité, à l'opposé de ta requête ... (on aimerait dire : C1 non dérivable !)
Soit $f: \R\rightarrow \R$ valant 0 pour $x < 0$ et 1 pour $x\geq 0$
$f$ est dérivable sur $\R\setminus\{0\}$, et $f'$ y vaut 0.
La fonction dérivée $f'$ est prolongeable en 0 par continuité en la fonction nulle $\R\rightarrow \R$
Et pourtant $f$ n'est pas dérivable en 0 (elle n'y est pas continue).
Autrement dit, il ne suffit pas que la dérivée soit prolongeable par continuité en un point, pour que la fonction soit dérivable en ce point.

Alain

Titou0

Effectivement egoroff, on comprend plus, c'est trop abstrait, y a trop de lemmes

CQFD

Pour Egoroff : je me réveille juste et j'ai un peu de route à faire aujourd'hui... je regarderai ça plus tard; mais ça semble un peu complexe pour des ECE...
Pour Alain : j'avais pensé à la fonction partie entière pour une propriété identique.
Merci à tous les deux.

egoroff

titou : Oui en plus ce sont trois lemmes hyper-techniques à démontrer

Alain : Effectivement ta fonction est dérivable presque partout, et pas continue. En particulier elle n'est pas égale à l'intégrale de sa dérivée. On peut même trouver des fonctions dérivables presque partout, croissantes et {\bf continues} qui ne sont pas égales à leur dérivée, par exemple "l'escalier du diable" de Cantor. Les fonctions dérivables presque partout qui sont égales à leur dérivée sont exactement les intégrales de fonctions intégrables au sens de Lebesgue, ou encore les fonctions absolument continues.

CQFD : Peut-être en DM ou en DS ? C'est sûr qu'en cours ça risque d'être hyper soulant et pour pas grand-chose. Je ne me rends pas bien compte en fait.