sous-espaces propres
Bonjour, je me pose une petite question en algebre :
Si f est un endomorphisme diagonalisable de E, alors E est égal à la somme directe des sous espaces propres de f. Mais il me semble avoir vu un jour dans un devoir qu'il fallait rajouter le Ker f à cette somme pour avoir E tout entier? Où est mon erreur? merci
(si je ne suis pas claire, dites moi j'essaierai de faire mieux...:))
Si f est un endomorphisme diagonalisable de E, alors E est égal à la somme directe des sous espaces propres de f. Mais il me semble avoir vu un jour dans un devoir qu'il fallait rajouter le Ker f à cette somme pour avoir E tout entier? Où est mon erreur? merci
(si je ne suis pas claire, dites moi j'essaierai de faire mieux...:))
Réponses
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Bonjour,
Déjà, si 0 est valeur propre, il est clair que Ker f interviendra dans la somme directe donc il n'y a pas lieu de le rajouter....
Par contre, si 0 n'est pas valeur propre, le déterminant de f (qui est égal au produit des valeurs propres) sera non nul donc f sera inversible donc en particulier injectif et le noyau sera réduit au singleton {0}. Par suite, ici aussi, il est inutile de rajouter le noyau de f dans la somme directe.
En espérant avoir répondu à vos attentes, bonne journée!
Raphael -
oui parfait! merci beaucoup!
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Bonjour!
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