Application affine
bonjour, voici une application affine définie par :
$ x'=x+y-1$
$y'=x-y$
je veux écrire la matrice de f dans (O,i,j), j'obtiens alors $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}$
mais je croyais que la première colonne était censée représenter $f(O)$, l'image de l'origine $O$ par $f$, la deuxième colonne l'image de $\overrightarrow{i}$, et la troisième l'image du $\overrightarrow{j}$ par $f$.
Or, $f(\overrightarrow{i})$ me donne $\overrightarrow{j}$, alors je ne comprends pas, quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?
Merci
$ x'=x+y-1$
$y'=x-y$
je veux écrire la matrice de f dans (O,i,j), j'obtiens alors $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}$
mais je croyais que la première colonne était censée représenter $f(O)$, l'image de l'origine $O$ par $f$, la deuxième colonne l'image de $\overrightarrow{i}$, et la troisième l'image du $\overrightarrow{j}$ par $f$.
Or, $f(\overrightarrow{i})$ me donne $\overrightarrow{j}$, alors je ne comprends pas, quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?
Merci
Réponses
-
Salut
C'est plutôt $\vec{f}(\vec{i})$ et $\vec{f}(\vec{j})$.
a+ -
ah d'accord merci beaucoup!
-
Je ne comprends pas comment tu as obtenu la matrice(ca doit être le stress du capes: en tout cas j'espère!!!
Pourriez vous m'eclairer. merci bien -
Bonjour maud.
Je ne me sens pas de t'expliquer en deux mots. Regarde dans Tisseron, Géométries affine, projective et euclidienne chez Hermann.
Si tu ne peux pas y acceder à temps, remets un mot sur ce sujet, et je ferais un effort.
Don't panic !
Bruno -
Merci Bruno pour tes encouragements !!
Alors sans avoir le Tisseron, j'ai regardé dans un Monier (un équivalent !!)
et pour moi on doit obtenir une matrice 2x2
$x'=x+y-1$
$y'=x-y$
j'obtiens alors $\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix} * \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
-1 \\
0
\end{pmatrix}$
Est-ce ça ?
Désolé pour le latex, ce sont mes débuts !!!
[Tu avais écrit \verb+\end$\pmatrix}+ au lieu de \verb+\end{pmatrix}+. Du coup, cela ne passait pas. Bruno] -
Non ce n'est pas cela.
En deux mots, on considère l'espace affine (ici un plan $P$) comme un hyperplan affine d'un espace vectoriel $E_p$ convenablement construit. Par conséquent, chaque point $M$ de l'espace affine $P$ est un vecteur $\overrightarrow M$ de l'espace vectoriel $E_p$. De plus, il existe une unique forme linéaire $\mu$ telle que :
$$\forall\,\vec x \in E_p\ \exists\,M \in P \quad \vec x = \overrightarrow M \iff \mu(\vec x) = 1.$$Le noyau de $\mu$ est l'hyperplan de $E_p$ qui dirige $P$.
Un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$ de $P$ donne une base $(\vec i,\vec j,\overrightarrow O)$ de $E_p$ puisque les deux premiers vecteurs sont linéairement indépendants et appartiennent à l'hyperplan $\ker\mu$ et que $\overrightarrow O$ n'y appartient pas.
Une application affine du plan correspond à une application linéaire de l'espace et c'est cette matrice qu'on appelle la matrice de l'application affine. Par conséquent, c'est nécessairement une matrice $3 \times 3$ dans le cas qui nous occupe.
Je reviens à l'exemple $f$ de novice:$$x' = x + y - 1 \quad \mathrm{et} \quad y' = x - y.$$
Désignons par $\vec f$ la partie vectorielle de $f$, l'application linéaire $F$ déduite de $f$ est définie sur la base $(\vec i,\vec j,\overrightarrow O)$ par :$$\begin{array}{rcl}
F(\vec i) &= &\vec f(\vec i) = 0\,\vec i + 1\,\vec j + 0\,\overrightarrow O, \\
F(\vec j) &= &\vec f(\vec j) = 0\,\vec i - 1\,\vec j + 0\,\overrightarrow O, \\
F(\overrightarrow O) &= &f(O) = O + \vec f\big(\overrightarrow{Of(O)}\big) = \overrightarrow O - 1\,\vec i.
\end{array}$$
La dernière ligne se déduit du caractère affine de $f$ et de l'identification $O = \overrightarrow O$.
On a donc la matrice suivante:
$$\begin{pmatrix}
0 &0 &-1 \\ 1 &-1 &0 \\ 0 &0 &1
\end{pmatrix}$$
A noter que la dernière ligne est caractéristique de cette famille de matrices : des zéros sauf le dernier coefficient qui vaut un.
Bruno -
Bonjour me voici avec un nouveau problème :
Soient R^3 muni de sa structure euclidienne usuelle et ($e_1,e_2,e_3$) sa base canonique. Soit u l'endomorphisme de R^3 défini par u($e_1$)=$e_2$, u($e_2$)=$e_3$ et u($e_3$)=$e_1$. Quelle est la nature de la transformation géométrique u?
J'ai donc obtenu pour la matrice de u dans la base canonique de R^3 la matrice suivante:
$$\begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\ 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0
\end{pmatrix}$$
Je sais donc que u est une rotation (matrice orthogonale et det=1). J'obtiens mon axe de rotation orienté par (1,1,1). Puis mon angle au signe près, qui est + ou - 2$\pi$/3. Je veux maintenant définir le signe grace au sinus et là deux questions :
1) dois je obligatoirement normé mon axe? il me semble que ce n'est pas obligé pour obtenir le signe du sinus....
2)j'ai pris comme vecteur orthogonal à l'axe (1,0,-1) et j'obtiens alors pour son image (-1,1,0), je trouve alors un determinant positif, mais vu le corrigé, ma réponse est fausse...pouvez vous m'indiquer mon erreur?
merci bien -
Bonjour novice.
D'accord, on n'est pas obligé de normer les vecteurs, on multiplie les divers résultats par des constantes positives ce qui ne change pas leur signe. Comment le corrigé procède-t-il ?
Bruno -
ben le corrigé norme les vecteurs, mais bon ca c'est vrai qu'on s'en fiche.
Après, il choisisse eux comme vecteur orthogonal $\frac{1}{\sqrt{2}}$(1,-1,0) ils obtiennent alors pour image $\frac{1}{\sqrt{2}}$(-1,0,1) et je ne comprends pas comment ils l'obtiennent en fait... Après forcément ils trouvent eux un det négatif..
merci -
Ben apparemment, ils se sont plantés de le calcul de l'image du vecteur. ils devraient ontenir (0,1,-1) à la norme près me semble-t-il.
Bruno -
ah ok oui moi aussi j'obtenais ça. Merci
-
Bonjour,
je ne comprends pas la matrice que tu obtiens Novice dans ton premier exo:S..
avec les explications de Bruno,
dans (O,i,j),
j'obtiens $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}$
Quant au 2ème exo:
je calcule le sinus grâce au produit vectoriel, et j'ai obtenu comme angle: + 2Pi/3, est-ce bien cela?
merci d'avance -
Salut
La différence vient simplement de l'ordre des vecteurs dans la base.
Brunon a choisi $(\vec i,\vec j,\overrightarrow O)$, si tu prends $(\overrightarrow O,\vec i,\vec j)$ tu retrouve le résultat du 1er mail de Novice.
a+ -
En réponse au message Sisbai ci-dessus :
Salut ! je te remercie, mais j'avais bien vu que ce n'était pas le même ordre des vecteurs et justement dans (0,i,j) je ne trouve pas la même matrice que Novice..
[Inutile de reproduire in extenso le message précédent ! AD] -
Ah oui, excuse moi, j'ai mal interpreter ton problème.
Il faut calculer $\vec{f}(\vec{i})$ et $\vec{f}(\vec{j})$ et non $f(1,0)$ et $f(0,1)$.
a+ -
Bonsoir,
Une question que je me posais depuis longtemps concernant la determination du signe de l'angle d'une rotation : le signe de $ \sin \theta $ est le meme que celui de $det(u,f(u),k)$ où u est orthogonal a l'axe et $k$ est un vecteur directeur de l'axe. Cependant comment détermine-t-on le sens de $k$ ? Car suivant le sens du vecteur que l'on prend, le signe du déterminant ne sera pas le meme.
Merci d'avance
En fait j'ai cherché, et j'en ai conclu que l'angle dépend du choix de l'orientation de l'axe de la rotation. Mais alors concernant les rotations de l'espace, on peut trouver deux angles différents, mais alors les vecteurs propres ne seront pas les memes ? -
Bruno écrivait:
Je reviens à l'exemple $f$ de novice:$$x' = x + y - 1
\quad \mathrm{et} \quad y' = x - y.$$
Désignons par $\vec f$ la partie vectorielle de
$f$, l'application linéaire $F$ déduite de $f$ est
définie sur la base $(\vec i,\vec j,\overrightarrow O)$ par :$$\begin{array}{rcl}
F(\vec i) &= &\vec f(\vec i) = 0\,\vec i + 1\,\vec j + 0\,\overrightarrow O, \\
F(\vec j) &= &\vec f(\vec j) = 0\,\vec i - 1\,\vec j + 0\,\overrightarrow O, \\
F(\overrightarrow O) &= &f(O) = O + \vec f\big(\overrightarrow{Of(O)}\big) = \overrightarrow O - 1\,\vec i. \end{array}$$
La dernière ligne se déduit du caractère affine de
$f$ et de l'identification $O = \overrightarrow O$.
On a donc la matrice suivante:
$$\begin{pmatrix}
0 &0 &-1 \\ 1 &-1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$$
A noter que la dernière ligne est caractéristique
de cette famille de matrices : des zéros sauf le
dernier coefficient qui vaut un.
Bruno
Comment obtiens tu $F(\vec i) &= &\vec f(\vec i) = 0\,\vec i + 1\,\vec j + 0\,\overrightarrow O, \\$ ? je ne comprends pas cela tout le reste j'ai compris plus ou moins!!!
merci de m'expliquer car ca me fait stresser, j'ai chercher dans tous mes bouquins, sur le net, et je comprends pas!!! et demain, c'est le jour J!!! -
en fait moi non plus je ne comprends pas le calcul de $\vec f(\vec i)$ ni de $\vec f(\vec j)$........je croyais qu'il suffisait (en très gros) de supprimer les constantes dans le systeme de combinaisons linéaires... et que ça donnait l'expression analytique de $\vec f$???
je crois qu'il ya un peu trop "d'à peu près dans ma tête"!!!! -
Désolé, j'ai été absent toute la journée et je le serai demain.
Ne paniquez pas, il n'y a aucune raison pour que ce truc sorte, c'est un peu trop fin.
Bruno.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 85 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres