matrice d'endomorphisme

Bonjour, voici ma question :

Soit g l'endomorphisme de E (ev de dim 3 sur R) dont la matrice relativment à une base fixée est
$\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}$

il faut déterminer la dimension de Ker(g) sans résoudre de système.

On me dit alors qu'efféctivement Ker(g)=Vect(e1,e2) et que Im(g)=Vect(e2), ce qui démontre que Ker(g) est de dim 2.

Alors tout d'abord comment peut on voir que Im(g)=Vect(e2)?
et deuxiemement, a-ton besoin de parler de Im pour définir la dimension du Ker?

merci beaucoup!

Réponses

  • Le $Im(f)=Vect(e_2)$ ca vient directement en regardant ta matrice (je suppose que ta matrice est écrite dans la base $(e_1,e_2,e_3)$) : tes deux premières colonnes sont nulles donc "n'engendrent rien" et il reste la 3e colonne qui est $e_2$ et voila (bon, en fait je sais pas trop l'expliquer)

    Pour trouver la dimension du noyau, on n'est pas obligé de parler de l'image, il suffit de résoudre un système mais là, le plus simple est d'utiliser le théorème du rang qui te donne directement ce qu'il faut puisqu'il est clair que ta matrice est de rang $1$
  • Pas besoin en effet d'expliciter l'image ou le noyau (qui se "lisent" quand même directement sur la matice) pour donner la dimension du noyau. Il suffit d'appliquer le théorème du rang.
    $dim(E)=dim(ker(g))+rang(g)$ d'où $dim(ker(E))=2$
  • Bonjour novice.

    La démonstration de Mathilde est sans équivoque à un poil près : il faut déterminer la dimension de l'image.

    Donc je procéderai dans l'autre sens : Il est clair, en regardant la matrice de $f$, que les vecteurs $\vec e_1$ et $\vec e_2$ de la base appartiennent au noyau de $f$ ; donc $2 \leq \dim\ker f \leq 3$. De plus $\vec e_3 \notin \ker f$ ; donc $1 \leq \dim{\rm Ima} f$. On applique alors l'équation aux dimensions qui, sachant que E est de dimension 3 donne :$$\dim\ker f - 2 = 1 - \dim{\rm Ima} f$$le premier membre est positif, le second est négatif, ils sont donc tous deux nuls.

    D'accord, j'ai forcé la dose en précision, mais je ne connais pas le but de l'exercice ; s'il s'adresse à des débutants, on peut exiger une telle démonstration.

    Bruno
  • Il est clair que quelque soit le vecteur v de coordonnées (x,y,z) => u(v) a pour coordonnées (0,y,0)=y.e2 donc im(u) est engendré par e2.
    Or on sait que que dim(ker(u))=dim(E)-dim(im(u))=3-1=2
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