Suite et intégrale

skyrmion

Bonjour,

Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ continue et $\displaystyle I_n=\int_0^1 t^n f(t) dt$.
On a bien sûr $I_n$ tend vers $0$.

Si je prend $f$ $C^1$, j'ai $n\times I_n$ tend vers $f(1)$. Je coince pour montrer ce résultat lorsque $f$ est seuleument continue.

Merci.

bye
sk.

CQFD

En écrivant :
\begin{eqnarray*}
\int_0^1 nt^{n}f(t)dt-f(1) & = & \int_0^1 nt^{n}f(t)dt-(n+1)\int_0^1 t^{n}f(1)dt\\
& = & \int_{0}^{1}nt^{n}(f(t)-f(1))dt-\int_{0}^{1}t^{n}f(1)dt
\end{eqnarray*}
on doit aboutir au résultat.
En effet :
- la seconde intégrale tend vers $0$;
- la première intégrale, en l'écrivant $\int_0^1=\int_0^\alpha+\int_\alpha^1$, tend aussi vers $0$, $\alpha\in]0;1[$ étant choisi tel que $|f(x)-f(1)[\le\varpesilon$ par continuité de $f$ (je te laisse terminer le raisonnement).

skyrmion

Ok, merci... Ah la la, je suis de plus en plus nul en maths. 1 an d'arrêt et je ne sais même plus faire un exo de sup. Désepérant.

sk.

CQFD

Je voulais écrire $|f(x)-f(1)|\le\varepsilon$ si $|x-1|\le\alpha$... mais je pense que tu as vu l'idée.

Guego

On peut aussi faire le changement de variable $u=t^n$, puis utiliser le théorème de convergence dominée.

Aleg

cette question a déjà été traitée plusieurs fois sur le forum.
Elle est traitée aussi dans l'exercice 1.40 des FGN, volume : analyse 2 page 63.