Inégalité sur une espérance

Nicodan

Bonsoir à tous,

$X$ est une variable aléatoire réelle centrée et bornée, c'est-à-dire $E(X)=0$ et il existe $C>0$ tel que $|X|\leq C$ presque sûrement.

Je dois établir que $$E(e^X)\leq e^C-C.$$
L'article que je lis dit que c'est "facile", mais je sèche. A votre bon coeur...

Nicodan

Richard André-Jeannin

Si X prend les valeurs +C et -C avec la probabilité 1/2, cela a l'air de marcher.

oliver-stone

Salut Nicodam!
tu développes exp(X) en série entière, tu majore X^n par C^n sauf X que tu laisse tel qu'il est,tu prends l'espérance de cette inégalité, le majorant est exactement celui que tu veux.
Salut, la bise à Ridon.

PS: si quelqu'un comprend cette blague, qu'il n'hésitepas à se manifester.

Nicodan

Bonjour RAJ, Bonjour Oliver,

Merci, je commence à voir le "trick" à utiliser, mais :

$|e^X|\leq 1+|X|+\frac{|X|^2}{2!}+...$
$e^X\leq 1+|X|+\frac{|C|^2}{2!}+...$
$e^X\leq |X|+e^C-C$

Mais en prenant l'espérance, le terme $E(|X|)$ semble subsister non ?

Pour la blague, je cherche encore :-)

Longjing

Ridon-Nicodam, un célèbre théorème pour dyslexique : j'adore !

Kuja

Bonjour,

Il y a beaucoup plus simple il me semble.
On a $f(x)=e^x-x \leq e^C-C$ si $|x|\leq C$ par une petite étude de fonction très facile.
En passant à l'espérance et en utilisant le fait que $E(X)=0$ c'est terminé.

Amicalement,

Nicodan

En effet Kuja,

L'étude de $f$ montre que :
$f(x)\leq e^{-C}+C$ sur $[-C;0]$ et $f(x)\leq e^C-C$ sur $[0;C]$.

On vérifie que $e^C-C\geq e^{-C}+C$ car $e^C-C-(e^{-C}+C)=2(\sinh C-C)\geq 0$ pour $C\in[0;+\infty[$

Merci à tous et bon dimanche !

Nicodan