Anneau factoriel

Mathieu

Bonjour,

Il y a un point que je ne comprends pas dans la démonstration de mon cours qui affirme qu'un anneau principal est factoriel.

Le professeur écrit sans autre forme de procès que $x$ est non inversible, non nul, et non irreductible donc il s'écrit sous la forme $x = a b$ où $a$ et $b$ ne sont pas inversibles.
En cherchant j'ai trouvé une démonstration, mais elle utilise l'axiome du choix (théorème de Krull)

Ma question est donc, faut-il utiliser l'axiome du choix pour montrer qu'un anneau principal est factoriel ?

Merci

gb

Je ne sais pas qui est ce $x$ auquel tu t'intéresses, mais que veux dire, pour toi, que $x$ est {\it non irréductible} ?

gilles benson

bonjour, Gb; personnellement, j'aime assez la question:
qui est x?

Mathieu

En fait, j'étais parti sur un élément $a$ d'un anneau $A$ est irréductible si et seulement si $(a)$ est maximal.

J'ai ouvert un bouquin et la lumière fut.
En ouvrant ce dit bouquin, j'ai vu la "véritable" définition et évidemment là, c'est immédiat.

Le $x$ dont je parlais est le $x$ qu'on exhibe lorsqu'on suppose $A$ principal non factoriel. $x$ n'est pas factorisable.

J'aurais dû réfléchir un peu plus avant de poster.
Merci.

leslie0

le prof fait (en sous-entendu) le raisonnement suivant:

{\it soit x non inversible, non nul, non factorisable. Il s'écrit sous la forme ab, et l'un des 2 a, ou b, n'est pas factorisable. On fait une suite $a_0:=x,a_1,...$ telle que les idéaux $(a_n)$ croissent strictement avec $n$. Dans un anneau principal, il n'y a pas de suite strictement croissante d'idéaux}

Enfin, je suppose...

pB0

"Dans un anneau principal, il n'y a pas de suite strictement croissante d'idéaux"

Oui, dans un anneau noetherien (un anneau où tout idéal est de type fini), il n'y a pas de suite strictement croissante d'idéaux. Tout anneau principal est noetherien