le forcing expliqué aux matheux ordinaires
Réponses
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Je n'ai pas tout lu, mais je trouve ca amusant d'etre traite de 'matheux ordinaire'.... Les logiciens seraient donc extraordinaires ?:)
bon WE,
AG.
ps pour Hammerklavier: ca fait plaisir de croiser d'autres fans de Beethoven! -
J'ai beaucoup apprécié la lecture de ce fil. Bravo et merci, M. Chalons. voilà qui fait plaisir.
Mais comme je suis un enfant gâté pourri, je vote pour la version pdf de tout ça. -
Promis, elle viendra!
Mais je suis encore loin d'avoir fini, et d'ailleurs ça se voit: ce fil sera terminé quand vous serez tous convaincu qu'on ne peut pas prouver ni infirmer (prouver que non) l'hypothèse du continu à l'aide de quelques axiomes sérieux de maths que ce soit (contrairement d'ailleurs à un certain préjugé qui s'est répandu en théorie des ensembles ces dernières années, à travers des titres de conférence un peu provocateurs de conférence de Woodin (le maitre absolu de la théorie des ensembles lol), et qui n'est que l'apparence publicitaire d'une réalité beaucoup plus anodine: Woodin essaie (et croit y être parvenu) de prouver {\it qu'on y gagnerait à utiliser l'axiome que le cardinal de $\R$ est le deuxième cardinal après $\N$ (ie y en a un (en l'occurence $\omega _1$) entre celui de $\R$ et celui de $\N$)})
Par contre, je peux dès à présent vous résumer le plan pour les personnes qui ont fait l'effort de réfléchir aux exercices ci-dessus
Etant donné un "monde" $M$ qui vérifient les axiomes des maths, il existe un monde "canonique" $M_2$ un peu plus "large" mais pas plus haut qui les vérifient aussi. Dans ce monde $M_2$ HC est fausse dans un sens précis suivant:
L'algèbre de Boole ci-dessus qui "inventent" une $f$ virtuelle est dans le monde $M$. Le monde $M_2$ contient un objet {\bf extraoridnaire}
Il contient un genre d'ultrafiltre $G$, mais {\bf magique}.
Attention là: $G$ est dans le monde $M_2$. L'algèbre de Boole $B$ est dans le monde $M$. Grace à $G$, la $f$ virtuelle va se mettre à exister. Qu'est-ce que $G$ a de magique? C'est un ultrafiltre (bon ça d'accord) mais en plus à chaque fois qu'il contient tous les $a_i$ d'une famille $(a_i)_{i\in I}$, il contient aussi sa borne inf.
Un tel truc ne peut arriver que dans des cas triviaux si $G$ est dans $M$. Mais là ce n'est pas le cas!
Dans $M_2$ la fonction $f$ sera une injection, elle existera en bonne et due forme, et donc $\R$ sera grand. {\bf Mais} l'algèbre de Boole $B$ ayant la propriété (1) du 5e post vers le haut en partant d'ici, le monde $M_2$ sera suffisamment petit pour ne pas contenir de "surjection" qui "briserait" notre nouvelle grandeur de $\R$. Autrement dit, les ensembles de $M$ plus petits que $E$ {\bf restent plus petit que $E$} vus dans $M_2$.
Dernière remarque: le $\R$ de $M_2$ ne contient pas les mêmes nombres réels que le $\R$ de $M$. {\bf il en contient plus}
Pour ceux qui sont habitués à la MQ, $G$ est comme un {\it réducteur du paquet d'onde}. Vous lui donnez une valeur de vérité élément de $B$. Et il vous dit si on doit la considérer comme vraie ou comme fausse. Et il fait ça bien (la propriété magique). Un tel $G$ ne peut pas être dans le même monde $M$ que $B$ sans avoir une propriété triviale: en fait, en prenant la borne inf $a$ des éléments de $G$, qui serait dans $G$ ça montrerait que, $G$ étant un ultrafiltre, l'élément $a$ est un {\bf atome} (Décidément le vocabulaire de la science me fera toujours rire)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Par contre quand $G$ est dans un autre monde que $M$...
Bref! Avant de continuer, je vais essayer de vous inviter à quelques remarques utiles pour la suite:
* Un ultrafiltre est une fausse carte d'identité (essayez d'expliquer pourquoi).
* Tout théorème de maths est un cas particulier d'évidence: je vous le mets en liste de questions qui s'enchainent
{\it
1) On se donne une théorie $T$ (c'est à dire un ensemble de phrases) et on considère que c'est à la théorie de prendre en charge toutes les connexions autres que $\to$ qui signifie "implique" et les conjonctions (finies ou dénombrables, peu importe). Autrement dit, toute phrase qui n'est ni une conjonction, ni une implication est considérée comme "atomique" et la théorie $T$ doit prendre en charge son sens, par affirmations d'axiomes divers et variés. Montrer qu'on obtient une description exhaustive des maths sans trop de complications avec cette "convention" (de ne pas parler de "ou", et des autres connecteurs)
2) Soit $P$ une phrase quelconque qui a la propriété que dans tous les "bons" modèles de $T$ elle est vraie. Un modèle de $T$ sera, ici, exceptionnellement une application de l'ensemble des phrases dans $\{vrai,faux\}$, et un "bon" modèle, celui qiu fait cette "attribution" sans dire de conneries flagrantes (comme par exemple affecter la valeur "vrai" à $A\to B$, "vrai" aussi à $A$ et "faux" à $B$). But de la suite, montrer qu'on peut prouver $P$ from $T$ à l'aide du modus ponens et d'axiomes de $T$.
3) Supposons que les axiomes suivants (au moins eux) sont dans $T$ pour toutes phrases $A,B,C, etc$:
a) $((A\to all)\to \to ((A\to \to $
b) $all\to A$
c) $[(A\to all)\to all]\to A$
{\bf A vous de rajouter les moult évidences acceptables pour prouver la suite!}
3.1) Montrer que si $P$ n'est pas démontrable alors l'une au moins parmi $A\to¨P$ et $(A\to all)\to P$ ne l'est pas non plus.
3.2) On joue au jeu suivant: la phrase courante étant $P$
le prouveur a 2 options, dont une qui n'est autorisée que si la pc est une conjonction de $A_i$ qui est de demander au sceptique de choisir l'une des $A_i$ comme nouvelle pc.
L'autre option consiste pour le prouveur à choisir une phrase $A$ de son choix, et à demander au sceptique de remplacer la pc par $(A\to all)\to P$ ou par $A\to¨P$
3.3) Montrer que tout simplement en jouant toutes les sous-phrases de $P$ (qui entrent dans la construction de $P$ à l'aide de phrases "atomiques") en guise de $A$, le prouveur fabrique un modèle.
3.4) Par hypothèse justifier que ce modèle est forcément mauvais.
3.5) Montrer qu'alors "il aurait pu" gagner avant
4) Montrer que si le prouveur a une stratégie gagnante alors il y a une preuve de $P$ dans $T$ par modus ponens.
Ce genre de théorème est souvent appelé {\bf théorème de complétude}
5) On suppose que $E\to A$ est évidente ainsi que $F\to (A\to $ ainsi que $E$ ainsi que $F$. Trouver une "évidence" $G$ telle que $G\to B$ soit évidente.
5.1) En déduire que tout théorème de maths $P$ a la propriété suivante:
il existe une évidence $E$ telle que $E\to P$ est évidente
{\bf Remarque: ces exercices nécessitent que vous soyez créatifs, car ils sont vagues, mais suffisamment formels, quand-même j'espère pour que vous puissiez les traiter}
}Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Et c'est le moment de poser la question tant attendue: Hatten Sie ein Strauss ?:D
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La suite... la suite !!
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{\it Et c'est le moment de poser la question tant attendue: Hatten Sie ein Strauss ?}
Je ne parle pas un mot d'allemand (si c'est de l'allemand)
***
La suite:
Je vais passer par un petit détour, mais ça va "adoucir" la brutalité de l'argument et en même tps ça me permattra de faire un peu de pub. Depuis bcp moins longtemps que l'invention du forcing, il y a eu une prise de conscience d'une correspondance extrèmement profonde entre une partie de la logique (appelée {\it théorie de la démonstration}) et l'informatique. Mais attention, pas la correspondance triviale et bateau qu'on brandit à chaque fois qu'on fait un cours de "turbo pascal"
Cette correspondance s'appelle {\it correspondance de Curry Howard}. D'une certaine manière, et c'est seulement depuis moins de 10 ans qu'on en prend conscience, l'invention du forcing par P.Cohen, et la correspondance de CuHo ont moult choses en commun (et quand je dis "on" c'est 3 ou 4 personnes au monde ce qui est bien triste, pour ne pas dire "une seule, son inventeur: Jean-Loui Krivine").
Donc dans la suite, je vous "présente" un autre petit morceau de forcing, mais à la manière "CUHO":
La correspondance de CuHo tranforme toutes les preuves de maths en "plans d'actions" et rien de tel que la programmation pour parler de "plans d'actions".
Tenez-vous bien, je vais avoir l'air de dire des trivailités, et pourtant, l'espace de quelques anodines définitions, vous allez entrer dans une véritable "olympe", dont la visite explique peut-être un genre de "fonctionnement interne" de nos cerveaux, mais à travers eux, du mondes des illusions (notez que j'utilise ici le mot illusion dans un sens qui autorise le réel à en être (phénomènes de Kant?)).
Disons qu'il y a 2 catégories d'objets: les robots et les "extérieurs" (la nature, l'environnement, Dieu, etc).
Lorsque qu'un scientifique "prouve" quelque chose, en général, ça lui donne une garantie, qu'il espère parfaite, que ce truc est... vrai. Mais bon, la vérité...
Mais en tout cas, ça lui donne une {\bf garantie} (de quoi c'est une autre affaire). Cette "garantie" (de la conclusion de la preuve) s'oppose en quelque sorte à tout environnement qui viendrait "agresser" cette conclusion.
Cette opposition est une notion première qu'il serait difficile de définir mais nous parlerons, étrangement, en termes... d'harmonie. Nous dirons, par définition que:
la "mise en oeuvre" de la preuve {\bf aboutit} dans l'environnement qui "agresse" sa conclusion.
Par exemple, quand vous prouvez que $A\to B$ (lire $A$ implique $B$) vous "fabriquez" une garantie que... à condition qu'on vous {\bf donne} $A$, vous serez capable de {\bf rendre} $B$
Du coup, quand un "environnement" agresse $A\to B$ il serait plutot bien inspiré de {\bf vous donner $A$} pour réussir son agression.
Ainsi:
{\bf définition:} un environnement agresse $A\to B$ quand il fournit {\bf \it d'abord} un robot qui {\bf garantit} $A$, avant d'agresser $B$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Vous remarquerez, entre autre, dans le post précédent, qu'on a une entrée "presque par le fenetre" du temps, bref...
Plutôt que de "garantir" une à une les règles "évidentes" avec lesquelles les humains (les mathématiciens) raisonnent (celles dont personne ne demanderait jamais la justification), je vais m'occuper {\bf d'abord} de la plus "médiatique". Juste histoire de faire saliver les lecteurs (enfin j'espère)
Ce faisant, vous prenez un ascenseur "olympique" reservé, car entre le moment où la correspondance de Curry Howard a été "découvert" (ou inventée) et le moment ou ce qui suit (d'apparence pourtant toute simple) a été découvert (par Griffin) il s'est écoulée près de 20ans (un peu comme pour le problème des points tous alignés quand 2 quelconques d'entre eux passent toujours par un troisième)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Cette règle "médiatique", je pense que vous devinez laquelle c'est:
{\it c'est le "raisonnement par l'absurde", autrement dit, l'axiome du tiers exclus} (qui en est une version équivalente)
Comment garantir $[(A\to all)\to all]\to A$??? Comment fabriquer un robot ou une "idée" qui sortirait victorieuse, face à tout environnement "hostile" à $[(A\to all)\to all]\to A$?
Un tel environnement serait obligé de fournir un robot qui garantit $(A\to all)\to all]$ {\bf avant} d'agresser $A$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Et la question est donc, comment, à partir d'un robot qui garantit $(A\to all)\to all$ fabriquer un robot qui fait "mieux", à savoir qu'il garantit carrément $A$?
Histoire de vous laisser un peu réfléchir, quelques précisions:
Etant donné un robot $u$ qui garantit $A\to B$ et un robot $v$ qui garantit $A$ {\bf peut-on fabriquer un robot qui garantit $B$?}
La réponse est oui, et je vous la donne directement, de manière à "huiler" votre approche de ce paradigme.
Le robot $u$ a une propriété très simple: sa "vie" dans un quelconque environnement qui agresse $A\to B$ est réussie.
{\bf Définition:} si un robot $t$ et un environnement $E$ sont tels que la vie de $t$ dans $E$ est "réussie", on dira que l'histoire du mariage entre $t$ et $E$ "aboutit". On dira aussi, indifféremmet que $t$ sort "victorieux" de l'agression de $E$. Ou encore "l'histoire de $t$ dans $E$ aboutit"
Voici maintenant la "construction" du robot $w$ qui va garantir $B$ (c'est à dire qui sera tel que son mariage avec n'importe quel environnement qui agresse B aboutit)
$w$ met $v$ en avant (c'est à dire "présente $v$ à $u$) avant de laisser le relais à $u$. $w$ ressemble ainsi à un $u$ avec un bouclier (qui est $v$).
Que va-t-il se passer quand $w$ va se "marier" avec un environnement qui agresse $B$? Réponse, sa première action, va avoir comme effet de marier $u$ avec un environnement qui agresse $A\to B$ puisque du point de vue de $u$, l'environnement auquel il est confronté lui présente un robot qui garantit $A$ avant d'agresser $B$. Mais par hypothèse, c'est là une histoire qui aboutit!
Donc $w$ sort victorieux de son mariage avec $E$... CQFDAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Le post précédent justifie que le "modus ponens" (la règle sacro sainte de raisonnement qui dit que de $A\to B$ et de $A$ on peut inférer $B$) "passe" au domaine de l'action. Il existe une façon "transparente" de "garantir" $B$ à dès lors qu'on sait garantir $A\to B$ et $A$ en termes de "robots" et ce indépendamment de ce que peuvent bien signifier $A$, $B$ (des énoncés, des missions, des lieux à atteindre...)
Les 20ans qui on précédé la découverte de Griffin (le fait qu'on puisse "traficoter" un robot qui garantit $(A\to all)\to all$ pour le transformer en ganrantie de $A$ ont laissé le très net préjugé (erroné) que seule les axiomes de la logique intuitionniste serait "garantissables" en terme "d'actions"Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
La découverte de Griffin a été de trouver comment on peut garantir, par exemple, en termes de robots, "$A$ ou $A\to B$".
Le fait que "$A$ ou $A\to B$" soit une tautologie si on la considère comme une phrase est une chose, mais le fait qu'on puisse être absolument sûr de "résister" à toute agression de "$A$ ou $A\to B$" en est une autre.
C'est équivalent à la question suivante (c'est pour ça que ça a résisté 20 ans):
Vous disposez d'un robot qui vous emmène dans un "lieu" appelé $A$, à la condition qui vous lui fournissez un "une garantie" qui lui permettrait d'aller de $A$ au paradis (représenté par "all")
Question: comment transformer votre robot en un robot qui vous emmène à $A$ (sans la clé qui mène de $A$ au paradis)?
Bien sûr, on "sent" que c'est moins impossible qu'autre chose, mais...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Autrement dit, vous avez un robot qui se déclenche automatiquement et qui vous emmène en bas d'un immeuble (à l'extérieur) mais il est capricieux: il ne marche que si vous lui donnez le "digicode" qui permettrait d'entrer dans l'immeuble.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bon allez, voici la réponse:
Les hypothèses: le robot $u$ garantit "$(A\to all)\to all$".
But du jeu: fabriquer un robot qui garantit $A$.
Hypothèse $E$ agresse $A$
But du jeu reformulé: fabriquer un robot dont l'histoire aboutit dans l'environnement $E$.
La suite n'est pas de la propagande en faveur de l'économie de marché (d'autant que l'idée est d'un certain Krivine):
Le "je" de la suite est le robot-réponse à la question.
{\bf Je fais un chèque} à $u$, un chèque dont le montant est $A\to all$. Et ensuite, je le laisse s'aventurer dans un environnement en plastique tout en le surveillant. Remarquez que $u$ croit avoir reçu une garantie de $A\to all$ et ce faisant ne peut échouer que si on lui a menti. N'importe quel environnement (donc, y compris mon environnement en plastique) est un agresseur de $all$.
La vie de $u$ (muni de mon cheque) dans l'environnement en plastique (qui est un peu comme un simulateur de vol) va forcément aboutir... sauf s'il encaisse mon cheque (et s'aperçoit à cette occasion que je l'ai berné?). Mais pour encaisser mon cheque du montant $A\to all$, {\bf il doit d'abord me fournir un robot $x$ qui garantit $A$} (disons que ce sont les lois bancaires).
A ce moment, j'appuie sur "off" et je range mon environnement en plastique dans son placard, ainsi que $u$. Et le $x$ que je viens de recevoir, {\bf je le laisse se débrouiller dans l'environnement $E$}. Par hypothèse, l'histoire aboutira.
Le comportement que je viens d'avoir, simulable par un robot, {\bf garantit} une victoire face à tout environnement qui agresse $A$.
Or au départ, je n'avais que $(A\to all)\to all$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Muni de ce paradigme de robots (dont les mécanismes sont guidés par des preuves (ce sont des preuves mise en application)) et d'environnements, je vais pouvoir présenter à nouveau (dsl) un {\bf sommaire} de la suite:
Si j'arrive à vous convaincre que toutes les preuves de maths peuvent être transformées en robots qui garantissent les théorèmes de maths en un sens très "mécanique", et si je suppose qu'il existe une preuve de l'hypothèse du continu alors vous conviendrez très certainement qu'il existe un robot qui garantit l'hypothèse du continu.
En choisissant judicieusement la notion d'environnement (qu'après tout on a considéré ci-dessus comme une notion première) peut-être arriverez-je alors à une contradiction?
Je me déconnecte pour today, mais remarquez dès à présent que les algèbres de Boole fournissent d'excellents "environnements".
Réfléchissez à la définition suivante (qui apparait comme un pale cas particulier de la notion d'agression):
{\it $T$ étant une algèbre de Boole, on dira qu'un élément $a$ garantit $A\to B$ si pour tout élément $e$ de $T$ qui garantit $A$, la borne inf de $a$ et de $e$ garantit $B$. }
Pas besoin de la retenir, c'est juste un sujet de réflexion, on s'y prendra autrement...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
bonjour à tous (enfin surtout à CC puisqu'il est quasiment le seul intervenant)
J'ai survolé les multiples posts du sus-nommé et effectivement je trouve ca interessant (peut-être ne suis-je pas un matheux ordinaire (:D ).
Cependant je trouve un peu genant de voir un tel étalage, aussi interessant soit-il, n'ayant pour but que de voir grimper le nombre de lecteurs... Etre lu (ou écouté) n'a rien de gratifiant en soi, c'est plus le feedback qui est vraiment enrichissant. Or en te lisant CC, j'ai l'impression que tu ne te soucis presque pas sinon pas du tout des réponses ou autres interventions... sans doute aussi parce que la manière dont tu présentes tout ça ne facilite pas le dialogue.
Ce que j'aime lorsque quelqu'un expose quelquechose sur ce forum, c'est de pouvoir enrichir le fil, de participer à une sorte de débat...
Là tu deblatères toute sortes de notions, mais sans attendre d'interventions exterieur... n'oublies pas que c'est qd même ce qui a rendu le fil sur l'histoire des stratégies si interessant...
Donc bon si je vois que ce fil ne décolle pas du monologue je risque de vite abandonner...
A bon entendeur
t-mouss -
J'ai lu intégralement tout ce que tu as dit, mais quelle est ta question?
Entre les posts, j'essaie d'attendre les interventions, les questions, en plus j'essaie de regrouper plusieurs thèmes proches et périphériques du forcing.
Ultrafiltres, programmation, notions de valeurs de vérité (en mécanique quantique, on a aussi ce même principe, de sortir de "vrai/faux" pour le "remplacer" par des complexes de norme 1.
J'ai aussi mis plusieurs "exercices". Si tu veux j'en recopie quelques uns, pour éviter le "trop"Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Il faut dire aussi que le fil sur les boites était quand-même plus "atomique".
La preuve de l'independance de HC, c'est toute une approche, le fil sur les boites, c'était UN exerciceAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
oui effectivement, maintenant que tu eclaircis un peu ca semble louable...
bon je v me mettre à lire attentivement tes posts (surtout les derniers que j'ai tres largement survolés).
Et puis je ne disais pas que tu ne cherchais pas debat, mais que plus que la forme ne donnait pas trop envie d'intervenir... si je n'avais lu tes fils précédents, je t'aurais probablement pris pour un illuminé (que tu es peut-être d'ailleurs X:-( )
Aller, longue vie à se fil...
t-mouss -
Je vais essayer de faire des efforts pour bien tout découper en modules que ça puisse donner aux gens envie d'intervenir
Voici, par exemple, un module indépendant, qui d'ailleurs, éclaire le pourquoi du mot forcing
Dans le paragraphe suivant, les minuscules représentent des objets d'un ensemble ordonnés quelconque** et les lettres majuscules des phrases
{\bf définition-axiomes:}
$p$ {\it force} $A\to B$ ssi tout $q$ inférieur ou égal à $p$ qui {\it force} $A$ {\it force} forcément aussi $B$
$p$ {\it force} $\forall xR(x)$ ssi pour tout "objet $a$" $p$ {\it force} $R(a)$
{\bf exercice:}
1) Prouver que si on peut démontrer une phrase $A$ alors n'importe quel $p$ {\bf \it force} $A$
2) Définissez en terme de forcing "p force nonA"
{\bf Rappels:}
J'ai déjà mis des posts je crois sur la définition de {\it est démontrable}; mais je le réprécise ici:
Une phrase $A$ est dite démontrable si elle est dans le plus petit ensemble clos par modus ponens et contenant les axiomes (qu'on supposera forçable). Un ensemble $T$ est stable par modus ponens quand quelque soient $A$ et $A\to B$ dans $T$ la phrase $B$ est forcément dans $T$.
Par ailleurs; rappel de la définition de $\neg A:=A\to all$
$all$ veut dire "tout est vrai" et est utilisé en considérant que $all\to A$ est "évident"
$\neg A$ est la notation mathématique de $nonA$, qui est le contraire de $A$ (ie qui est vraie quand A est fausse et fausse quand A est vraie)
**cet ensemble ordonné sera, dans la pratique, souvent une algebre de Boole completeAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bon, bah personne participe, snif...
Question subsidiaire: est-il vrai qu'il y a un ensemble "dense" d'éléments $p$ qui forcent l'axiome du raisonnement par l'absurde (ci-dessous)?
$[(A\to all)\to all]\to A$
Ensemble $D$ dense veut dire: "pour tout $p$ il existe $q\in D$ tel que $q\leq p$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
{\bf Précisions:}
1) vous pouvez enlever tous les $p$ qui forcent $all$, ou ce qui revient presque au même, vous pouvez considérer que tous les $p$ qui forcent all sont $\leq$ à tous $q$ (ie tous les $p$ qui forcent all sont minimaux).
2) vous pouvez supposer que si $p$ force $A$ et si $q\leq p$ alors $q$ force $A$. En fait, ça n'enlèvera pas de généralité aux propos que je vais tenir dans la suite. C'est un peu comme si dans la théorie des ultrafiltres, je mettais dans un ultrafiltre sur $E$ des {\bf surensembles} de $E$
Précisément: par récurrence sur la "hauteur" de construction de la formule...
supposons que $p$ force $A\to B$ et que $q\leq p$. Soit $r\leq q$ qui force $A$. Alors $r\leq p$ et donc $r$ force $B$. Conclusion: toute $r\leq q$ qui force $A$ force aussi $B$. On n'a même pas eu besoin de l'hypothèse de récurrence. Par contre, là je vais l'utiliser: soient $p$ qui force $\forall xR(x)$; un objet $a$ et $q\leq p$. Là j'utilise l'hypothèse de récurrence (en fait pour parler correctement, je devrais parler d'hypothèse d'induction), en disant que $q$ force $R(a)$. Conclusion, $q$ force toutes les $R(a)$ et donc force $\forall xR(x)$
Pour fonder l'induction, il me manque une justification en ce qui concerne les formules atomiques.
Précisions de vocabulaire: dans ce post, j'ai utilisé le mot "formule" à la place du mot "phrase". J'ai aussi tacitement supposé 2 choses absolument universelles si on veut faire des maths correctement:
1) Toute phrase mathématique qui n'est pas de la forme $A\to B$ ou de la forme $\forall xR(x)$ est, dans ce fil sur le forcing, {\bf dite} atomique
Donc, tous les autres connecteurs doivent être ou bien "reconstruits"ou bien, les phrases écrites sont considérées comme atomiques:
en particulier $\exists xR(x):=\neg \forall x \neg R(x)$ et $\neg A:=A\to all$ et $AouB:=(\neg A)\to B$ et $(A$ et $B):=\neg (A\to \neg $. (Remarque: ces choix, sont pour l'instant assez arbitraires, c'est juste pour dire qu'on ne perd pas en généralité)
2) La relation {\it $A$ est une sous-formule immédiate de $B$} est bien fondée, où la notion de sous-formule immédiate est définie comme suit:
* $A$ ainsi que $B$ sont sfi de $A\to B$
* $R(a)$ est sfi de $\forall xR(x)$
{\bf Rappel (ou info):} une relation binaire $S$ est bien fondée s'il n'existe aucune suite $u$ telle que pour tout entier $n: u_{n+1}Su_n$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
à propos du mot "induction", et en particulier quand on prouve quelque chose {\it par induction}:
Je ne sais pas s'il existe un usage officiel, mais j'apporte mes précisions personnelles: il me semble (très vaguement) que le mot "récurrence" est réservé aux entiers et que le mot "induction" peut s'utiliser pour toutes les relations {\bf bien fondées}
Par exemple, dans un autre fil, j'ai demandé à "fadalbala" s'il existe un anneau avec un idéal qui serait minimal à ne pas être engendré par un nombre fini de générateur: pourquoi?
Parce que s'il me répondait "non" il n'en existe pas, ça donnerait une preuve "alternative" (pas forcément moins longue, tout compris) du fait (qui me fascine et me conduit à me forcer à oublier le contexte pour mieux le "renifler" lol) que tous les anneaux artiniens sont noethériens. Une preuve... {\bf par induction !}
En effet, la "définition" d'un anneau artinien étant prise comme disant
{\it la relation $I\subsetneq J$ est bien fondée quand on la considère pour les idéaux de l'anneau} (en fait, j'ai "inventé" ce post pour pouvoir remercier AD du "subsetneq", car je ne le remercie jamais pour ces petites intentions et pour "interpeller" des gens de manière qu'ils "participent")
L'archétype du raisonnement par induction est: {\it soit $x$ minimal tel que...} la relation pouvant être prise sur un ensemble très gros du moment qu'elle est bien fondée...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Afin (quand même!!) de respecter l'histoire, je vous donne la définition de P.Cohen de l'expression {\it p force A}. Par que c'est bien gentil de redéfinir les choses à la lumière des avancées et des unifications récentes, mais bon, ça peut entrer en conflit avec une certaine culture qu'ont les "vieux":
P.Cohen définit la partie "{\it par induction sur la construction de la formule $A$}" de la manière suivante (les $p$ varient sur un ensemble muni d'un préordre):
* p force $A$ et $B$ ssi $p$ force $A$ et $p$ force $B$
* p force $\neg A$ ssi pour tout $q\leq p$ $q$ ne force pas $A$.
* p force $\forall xR(x)$ ssi pour tout objet $a$***, $p$ force $R(a)$
*** (plutôt pour tout {\bf nom d'objet}, et ce n'est pas anodin!)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Quelques corrections:
D'abord, supposons que $p$ force $A\to B$ et que $p$ force aussi $A$. Alors, par définition, $p$ force $B$, puisque tout $q\leq p$ qui force $A$ doit forcer $B$.
{\bf Théorème de complétude:}
Négociation dans un jeu...
Supposons qu'une certaine phrase $P$ soit "vraie" dans tous les modèles d'une certaine théorie $T$.
Le but de ce qui suit est de montrer qu'il existe une "preuve" de $P$ en un sens "tout doux".
On joue au jeu suivant: on est 2, ya un sceptique et ya un prouveur. Le sceptique est, somme toute, assez passif...
A chaque étape, je choisis une phrase $Q$ et je demande au sceptique de rajouter aux hypothèses dont il me fait cadeau ou bien la phrase $Q$ ou bien la phrase $nonQ$. Autrement dit soit $Q$, soit $Q\to all$
Admettons que je "perde" la partie. Alors il faudrait vraiment que je l'ai fait exprès parce que regardez:
A chaque étape, je m'amuse à lui proposer une $Q$ différente, de manière qu'à la fin, si je n'ai pas gagné et que la partie a duré indéfinment, j'aie joué toues les $Q$ possibles
Par ailleurs, à un nombre infini d'étapes, et chaque fois que ma $Q$ proposée est de la forme $\forall xR(x)$, je procède d'une manière un peu détournée:
* je demande au sceptique de rajouter ou bien $\forall xR(x)$ aux hypothèses, ou bien de rajouter $R(a)\to all$ pour un nom $a$ qu'il choisira comme il veut.
A suivre.......Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Au regard du forcing, les espaces topologiques compacts ne sont pas forcément ultraultra compacts. En ce sens qu'on peut "rajouter" (à l'extérieur) de l'univers un recouvrement sans sous-recouvrement fini.
Par exemple, si vous regardez les ouverts de l'intervalle $[0,1]$, et si vous "forcez" avec l'ensemble ordonné suivant constitué des ouverts non vides, et ordonné par l'inclusion, il existe ce qu'on appelle "un élément générique" qui a la propriété que chaque ouvert $U$ force la phrase "le réel générique est dans $U$"...
Ce miracle est impossible avec un espace topologique noetherien!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
En un sens, pour l'instant, pas très clair, voici une définition (j'espère que l'adjectif choisi n'a pas déjà été utilisé pour autre chose lol):
Un espace topologique est {\it ultracompact} si de tout recouvrement ouvert, y compris un recouvrement situé "en dehors" de l'univers, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Par exemple, $[0,1]$ {\bf n'est pas} ultracompact. Par contre, un espace topologique fini l'est. De même, un espace topologique {\bf noetherien} est ultracompact, ainsi qu'un espace topologique {\bf artinien} (où toute suite décrissante d'ouverts est stationnaire)...
Quand je dis <<{\it à l'extérieur}>>, voici comment vous pouvez voir les choses (pour l'instant: tant que vous n'êtes pas encore habitués au forcing). Imaginez que tout se passe dans un ensemble $M$ (lettre choisie à cause du mot "monde"), que ce $M$ est {\bf bien fondé} pour la relation $\in$ (par exemple, quand $M$ croit qu'un de "ses" ensembles est bien fondé, même une partie extérieure a un elt minimal) et qu'il est dénombrable. Ainsi, par exemple, le "$[0,1]$" de $M$ est un ensemble dense de réels, mais il est dénombrable. {\it Mais les gens qui habitent $M$ ne s'en rendent pas compte}.
Un espace topologique noethérien $T$ (vu comme tel dans $M$ bien sûr) a la propriété qu'il existe un ordinal $\sigma (U)$ attaché à chaque ouvert. Ainsi, même un recouvrement $(U_i)_{i\in I}$ ouvert tel que l'application $i\mapsto U_i$ serait extérieure à $M$ serait obligé de contenir un sous-recouvrement fini...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Voici une caractérisation "propre" des espaces topologiques $T$ ultracompactes:
Tom et Bil jouent au jeu suivant:
Tom joue $x_1\in T$. Bil joue $U_1$ un ouvert contenant $x_1$. Puis on continue ainsi: Tom joue $x_2$, Bil joue $U_2$ avec $x_2\in U_2$, etc...
La partie s'arrête quand l'un des joueurs ne respecte pas ses obligations ou quand la réunion des ouverts $U_1, ..., U_n$ déjà joués par Bil est $T$ auquel cas, Bil perd la partie.
Il est équivalent de dire que $T$ est ultracompact ou de dire que Tom a une stratégie gagnante (invincible) à ce jeu.
{\bf Exercice1: prouvez l'équivalence qui précède.}
{\bf Exercice2: existe-t-il des espaces topologiques séparés (propriété T2) qui sont infinis et ultracompacts? }Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Soit $M$ un ensemble {\bf dénombrable, bien fondé} qui vérifie {\bf tous les axiomes des maths} qu'on a envie d'admettre sans démontrer.
Il y a une chose {\bf qui ne peut pas se produire}: les "habitants" de $M$ ne peuvent affirmer {\bf aucun axiome} qui leur permettraient d'être sûrs que leur monde n'est pas dénombrable. En effet, sinon, ils auraient une preuve que $M$ est non dénombrable, or $M$ est dénombrable.
Soit maintenant $B\in M$ que la structure $(M,\in)$ (je ne repréciserai pas à chaque fois) considère comme une algèbre de Boole complète. Enumérons $(D_n)_{n\in \N}$ les sous-ensembles de $B$ (qui sont dans $M$) dont la borne supérieure est $1_B$
Soit $a_1\in B$ un élément non nul. On choisit $a_2$ plus petit que $a_1$ et plus petit qu'un élément de $D_1$. On choisit $a_3$ plus petit que $a_2$ et plus petit qu'un élément de $D_2$. Et ainsi de suite.
{\bf Exercice: c'est possible}.
On note $G$ l'ensemble des $x\in B$ qui sont minorés par au moins l'un des $a_n$. Evidemment, $G$ n'est pas dans $M$ (sauf dans des situations qu'on qualifiera de "triviales"). $G$ s'appelera un ensemble générique "au dessus de $M$".
Quelle est l'utilité de $G$?
Pour répondre, imaginez qu'on envoie aux habitants de $M$ juste le "nom de code" de $G$, mais rien d'autre. Ils "savent" donc que $G$ est un ensemble "extérieur à leur univers" mais ils le "nomment" et la question qui se pose maintenant est la suivante: peuvent-ils parler de $G$?
La réponse est oui: les habitants de $M$ peuvent, non seulement parler de $G$, mais en plus ils peuvent presque "tout savoir" sur cet ensemble extérieur... Enfin, modulo la réponse à des "jokers" de la forme élémentaire "{\it Contiens-tu $a$?}" où $a$ est un élément de $B$.
$G$ a la propriété suivante: si $D$ est une partie de $B$ {\bf qui est dans $M$} et dont la borne supérieure est $1_B$ alors il existe dans $G$ un élément de $D$. Et pourtant $G$ est un filtre!!!!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Le nom "officiel" de $G$ est {\it ultrafiltre $M$-complet} (on peut dire aussi que $G$ est "générique").
Chaque énoncé mathématique que pourront produire les habitants de $M$ aura une valeur de vérité {\bf dans $B$} comme on l'a déjà dit, mais {\bf grace à $G$} cette valeur en quelque sorte "quantique" va se transformer en ... un élément de $\{vrai,faux\}$
En choisissant bien $B$, on va en fait, obtenir que la valeur de vérité de moult énoncés célèbres puisse varier au gré de nos caprices...
Mais pour vous "motiver", encore quelques petits détours:
Soit $D\subseteq B$ un sous-ensemble de $B$ qui est dans $M$ et qui a une intersection non vide avec tous les génériques. Prouver que la borne supérieure de $D$ est $1_B$
On suppose que $M$ pense que $B$ a la propriété suivante (appelée "ccc"):
si les $(a_i)_{i\in I}$ sont 2 à 2 orthogonaux (borne inf égale à zéro) alors $I$ est dénombrable
Dans la suite, on suppose que $M$ est transitif: il contient les éléments de ses éléments.
Soit $E$ et $F$ 2 ensembles qui appartiennent à $M$ et soit $f$ une application de $E$ dans $F$ {\bf qui n'est pas forcément dans $M$}!
Par contre, on suppose que {\it parler de $f$} est une possibilité accessible aux gens de $M$ dans le sens suivant:
Pour chaque partie $X\subseteq F$ qui est dans $M$ et chaque élément $x\in E$, il existe un élément $h_{(x,X)}\in B$ que les habitants de $M$ considère comme la valeur de vérité de la phrase "$f(x)\in X$". Et de plus, on demande que $(x,X)\mapsto h_{(x,X)}$ soit {\bf dans $M$}
1) Essayer de construire un générique $G$ tel que pour tout $x\in E$ et tout $X$ comme ci-dessus, $f(x)\in X$ ssi $h_{(x,X)}\in G$
2) Prouver que le monde $M$ contient une application $k$ de $E$ dans $T$, $T$ étant l'ensemble des parties de $F$ que $M$ considère comme dénombrable, avec $\forall x\in E: f(x)\in k(x)$
3) En déduire que si $M$ pense qu'un ensemble $E$ a un cardinal strictement plus petit qu'un ensemble $F$, alors pour si on ajoute (à l'extérieur) une surjection de $E$ sur $F$, cette surjection échappera à toute algèbre de Boole $B$ qui est "ccc", en ce sens que les habitants de $M$ n'auront, non seulement pas la possibilité de dire qu'ils possèdent $f$ dans leur monde, mais en plus, ils n'auront pas accès à une manière de parler cohérente de $f$ via des valeurs de vérité prises dans $B$ pour leurs phrases.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je corrige juste l'exercice no1 3 posts plus haut
D'abord un rappel absolument "essentiel" concernant {\bf les paradigmes du forcing}. Les habitants d'un monde qu'ils croient vérifier tous les axiomes des maths ont le droit légitime (c'est une hypothèse qu'on fait) de penser que leur relation $\in$ est la même que "notre" (nous habitants omniscients du monde élargi) relation $\in$. En particulier, s'il manque des objets à leur monde, ce sont des ensembles d'ordinaux, par exemple des ensembles de "leurs" ordinaux, mais en aucun cas, il n'existe de suite descendantes dans leurs ordinaux, pour la raison toute bête que leurs ordinaux forment un sous-ensemble de nos ordinaux
Soit donc $E$ un espace ultracompact (vu comme tel dans $M$ qui est dénombrable). Supposons que le joueur qui cherche à faire durer la partie indéfiniment (celui qui joue les ouverts) ait une stratégie infaillible. Si on adopte la façon de procéder suivante, jouer tous les élements de $E$ lors de la suite $x_1, x_2...$ alors, comme à aucun moment, le joueur qui joue les ouverts n'a perdu la partie, on vient d'exhiber un recouvrement ouvert sans sous recouvrement fini (éventuellement) dans le monde extérieur.
Réciproquement: supposons que $E$ ne soit pas ultracompact mais que pourtant le joueur qui joue les éléments de $E$ ait une stratégie infaillible $\sigma$. Soit alors $(U_i)_{i\in I}$ un recouvrement de $E$ par des ouverts sans sous recouvrement fini. Jouons contre $\sigma$ en choisissant à chaque fois un des ouverts parmi les $U_i$ qui contient le $x_n$ courant. On va alors gagner la partie. {\bf Là attention:} il faut préciser quand-même une chose, car vous pourriez répondre que $\sigma$ n'est infaillible que du point de vue des habitants de $M$.
En fait, la raison qui fait que
{\it infaillibilité de $\sigma$ (vue dans $M$)} IMPLIQUE {\it infaillibilité de $\sigma$ (vue de n'importe où)} est une conséquence du paradigme que j'ai rappelé ci-dessus... {\bf exercice!}Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
puis je dire que deux elements qui ont la même image sont égaux ?
si x=x' si f(x)=f(x') et qu'il n'exite pas deux ensembles différents qui ont là méme image.
Mais si je dis que deux ensembles sont égaux parec que ils ont la même image, les elements de ces ensembles ne sont pas forcement les memes? -
Ca fait longtemps que je suis pas venu, désolé...
roger: effectivement, Paul Cohen l'inventeur de forcing* est mort le vendredi 23 mars 2007.
adn: de quoi parles-tu?
* Dans ce fil, je suis justement entrain d'essayer d'initier tout le monde (par des voies errtiques et détournées) au forcing. En à peine caricaturé, le forcing permet "d'accéder" aux objets "extérieurs" à l'univers mathématique qui "existent vraiment", en ce sens que "rien ne leur interdit" d'exister.
En particulier, on peut ajouter de nouveaux nombres réels, en quantité suffisante pour que le cardinal de $\R$ soit très très gros mais en s'y prenant soigneusement pour ne rajouter {\bf aucune} surjection d'un ordinal sur un autre s'il n'en existe pas déjà une.
Ces ajouts montrent que l'hypothèse du continu ne peut pas être prouvée.
Mais il y a {\bf pire} pour certains idéalistes: on peut toujours rajouter (si on veut) une surjection de $\N$ sur n'importe quel ensemble, en ce sens, qu'elle "existe" dans le monde extérieur à l'univers considéré sur le momentAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Petite digression, mais si vous la "digérez" bien, elle devrait vraiment vous plaire...
Godel a prouvé qu'il existe des énoncés mathématiques indécidables! Bon soit, mais le énoncés en question sont "intuitivement" décidables, en ce sens, que, même si on ne démontre rien, {\bf on a un avis bien trnaché}:
Par exemple, "je ne suis pas démontrable dans ZFC" est une phrase mathématique parfaitement claire (à la notion près de "démonstration", mais peu importe, je ne vais pas réexposer toute la logique mathématique) non démontrée (jusqu'à présent) et dont on est à peu près tous certains qu'elle est vraie (et qu'on ne la démontrera jamais avec ZFC comme seuls axiomes)
Tous les indécidables de Godel semblent avoir cette particularité de n'être indécidable qu'au regard de la théorie ambiante mais pas pour notre "intuition".
{\bf Il n'en va pas de même du tout des indécidables de Cohen!}
Partant d'un ensemble $M_1$ sensé contenir tous les objets mathématiques dont on parle (pas forcément les autres) le forcing permet d'agrandir d'une manière très capricieuse $M_1$ en moult possibilités de $M_2$ {\bf tout aussi} légitimement candidats à contenir tous nos objets importans. Et ces $M_2$ ne vérifient pas les mêmes énoncés, qui pour le coup, eux, sont de "vrais" indécidables...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Etant donné un ensemble $A$ (qu'on suppose très simple) de couple d'entiers, et un ensemble $B$ de paires d'entiers il y a une question générale devant laquelle nous sommes tous tout petits, {\bf y compris notre univers mathématique,!} (celui dans lequel nous supposons tous nos objets immergés):
Existe-t-il un ordinal $\kappa$, un ensemble $T$ d'entiers et une application $\sigma $ de $T$ dans $\kappa$ tels que:
1) $T$ rencontre toutes les paires de $B$
2) à chaque fois que $a\in T$ et $b\in T$ et le couple $(a,b)\in A$, on doit avoir $\sigma (a)<\sigma (b)$
Les instances générales de cette question, je m'y réfèrerai en appelant cette question {\it la divine question} (je précise que je ne suis pas spécialement croyant)...
En effet, d'une manière générale, cette question ne peut pas être résolue, et même pire: si un monde $M$ répond par la négative, dans la plupart des cas, il se peut qu'un monde (qui voit un peu plus haut, car il a plus d'ordinaux) $N$ (bien fondé) réponde par l'affirmative. Cette question générale a donc quelque chose de pire qu'indécidableAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Cher Christophe Chalons,
Je trouve ta présentation toujours aussi intéressante, mais mes yeux malades supportent difficilement la lecture de tout cela sur l'écran. N'étant pas spécialiste en logique, mais trouvant le sujet tout à fait passionnant, je souhaiterais me lancer dans une lecture approfondie de ton discours (très vivant pourtant !)
C'est pourquoi, je réitère ma demande d'une version pdf (quand tu estimeras que ce sera le bon moment...).
Je peux te donner mon mail, si cela est plus simple pour toi !
Merci d'avance. -
{\Large Promis, ça viendra, mais bon pour l'instant, c'est un peu de la gestation entropique. }Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
{\Large
avant d'aller me coucher: {\bf définition} dans un ordre partiel (quelqconque!), une antichaine $(a_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments orthogonaux, et dire que $a$ et $b$ sont orthoganaux, c'est dire qu'il n'existe aucun $x$ tel que $x\leq a$ et $x\leq b$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bon je suis pas très inspiré, et je suis grave crevé... (pas dormi la last night)
Histoire de "réactiver" cette "leçon" désordonnée, un petit résultat rigolo pour maintenir la pression:
Parlons au second ordre, c'est à dire, autorisons-nous certains raisonnements avec es variables qui peuvent "parcourir toutes les phrases".
En admettant certains axiomes, voici ce que ça donne... Supposons que les "mondes" forment une collection ordonnée partiellement d'une manière bien fondée. On peut donc parler d'un monde minimal dans lequel la phrase $W:=\forall X: X\to X^+$ est vraie.
Dans ce monde $M$ minimal, on a donc $W$ mais aussi donc, $W\to W^+$. Donc $W^+$
Mais $W^+$ exprime (je viens juste de le décider, lol) qu'il existe un monde $M_2\in M$ où $W$ est vrai (d'une manière générale, $X^+$ exprime qu'il existe un monde $M_2\in M$ où $X$ est vrai).
Ca contredit que $M$ soit minimal!
La conclusion de tous ces "axiomes" est que pour tout monde $M$, il existe une phrase $P$, tel que $M$ pense que $P$ est vraie sans que $P^+$ ne soit vraie...
***
Exercice: prouver la chose suivante "même si on regarde dans un univers plus large, on ne trouvera pas de mondes $M$ "externes" qui contredirait le principe précédent (olala, je n'ai pas dû être très clair, mais je reviendrai préciser les choses)... je tombe de sommeilAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Avant d'aller au cinoche, je récapitule parce que je me rends compte que je suis un peu parti en live et dans tous les sens...
Soit $\kappa$ un ordinal très grand, de manière qu'il y ait beaucoup de cardinaux entre celui de $\R$ et lui
On "rajoute" (virtuellement) $\kappa$ nouveaux nombres réels (d'ailleurs appelés des réels de Cohen), qu'on verra comme des suites de zéros et un
On démontre qu'il "pourrait" exister un monde (plus grand que le notre) qui contient ces réels. Du coup, ces réels appartiennent à $\R'$ qui est "l'ensemble des nombres réels" de ce nouveau monde.
On démontre que dans ce "nouveau monde" les cardinaux restent des cardinaux en ce sens que si $\alpha$ est un cardinal (dans notre mnde) alors le fait d'avoir rajouté de nouveaux objets n'a pas entrainé d'apparition d'une nouvelle surjection d'un certain $\beta <\alpha$ sur $\alpha$.
Dans ce nouveau monde le cardinal de $\R'$ est donc évidemment plus grand que $\kappa$
Et comme entre le cardinal de $\R$ et $\kappa$ il y a tout plein de cardinaux, c'est que dans ce nouveau monde, l'hypothèse du continu est fausse.
Pour ajouter ces "réels" virtuels, on décrète que toute fonction de $\kappa \times \N$ dans $\{zero,un\}$ avec un domaine* fini est une information partielle sur ce que sera la future application $\phi$ de $\kappa$ dans $\R'$.
Si une fonction partielle en prolonge une autre on les considère comme "compatible", et aussi on considère que celle qui prolonge l'autre donne une information plus précise sur $\phi$
* ensemble des éléments qui ont une imageAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Ensuite, on peut par exemple (là j'entame un propos démago, j'avoue) imaginer qu'un prouveur et un sceptique discute de $\phi$. Autrement dit, ils sont des habitants de notre monde, tout en discutant du nouveau monde, un peu comme dans les mille et une nuits.
En fait, le nouveau monde est entièrement (c'est ce que déclare le prouveur) connu si on précise un certain ensemble $G$ de fonctions partielles de $\kappa \times \N$ dans zero-un à domaine fini, tel que:
1) 2 fonctions dans $G$ sont compatibles en ce sens qu'il en existe une qui prolonge les 2
2) Tout ensemble "dense"** de telles fonctions rencontre $G$
$D$ dense veut dire que pour toute fonction $f$ est une restriction d'une fonction qui se trouve dans $D$.
L'exploit de Cohen a été de montrer que la donnée de $G$ (qui ne peut appartenir à notre monde) suffit à connaitre exhaustivement le nouveau monde...
Lors de la discussion entre prouveur et sceptique qui se chamaillent sur ce qui arrive dans ce "nouveau" monde, il n'y a pas vraiment besion d'avoir $G$ en vrai. Il suffit, pendant que la discussion avance (discussion qui a déjà donné des onformations partielles sur $\phi$ qui ont été avancées par le prouveur) de considérer (ce qui est facile à prouver) les attentes du sceptique comme des ensembles denses, et à chaque nouvelle exigence, on prend un élément qui prolonge toutes les infos précédentes dans la discussion et qui en plus se trouve dans $D$. Ca donne ainsi une manière très reposante pour le prouveur de "gagner" la conversation.
Désolé pour ce flou artistique, je préciserai au next post...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Par exemple:
Je vous raconte une petite histoire toute bête:
{\it
Un "magicien" et un sceptique se chamaille à propos du caractère dénombrable ou non d'un certain ensemble $E$.
Le magicien dit au sceptique "j'ai une injection de $E$ dans $\N$ bien cachée dans ma tête, mais je ne te la dirai pas"
}
Pause (dans l'histoire): now, sur quel protocole pourraient-ils se mettre d'accord pour trancher lors d'un jeu? à information imparfaite? à information parfaite?
Certes, vous en voyez surement un évident: le magicien doit poser l'injection sur la table. Bon, ok, mais c'est un peu trop bête! Cherchons un protocole lors duquel la vie du sceptique sera un peu moins facile
Autre possibilité (mais ça donne un jeu à information imparfaite, avec en plus le "devoir d'amnésie"). Le sceptique choisit $x\in E$ et le magicien doit répondre $n\in \N$. Puis le magicien {\bf a le devoir d'oublier les 2 coups qui viennent d'être joués, mais AUSSI qu'il y a des coups qui viennent d'être joués}
Ensuite, le sceptique choisit $y\in E$ avec $y\neq x$, et le magicien répond par $p\in \N$. Le magicien gagne si $n\neq p$.
Irréaliste*, ce jeu est malgré tout un bon critère: {\bf le magicien n'a une stratégie infaillible que si $E$ est dénombrable}
*Aucun arbitre sur Terre n'est actuellement capable de "vérifier" que le magicien a respecté la règle "d'oublier".
Une manière différente de jouer sur le plan des principes {\bf au même jeu} consiste à "cloner" le magicien (c'est à dire à jouer en équipe). Le sceptique affronte 2 magiciens complices qui n'ont pas le droit de communiquer pendant le jeu. Il donne à chacun un élément de $E$ et chacun répond un entier. L'équipe gagne si:
ou bien les 2 éléments de $E$ sont égaux ainsi que les entiers, ou bien les éléments de $E$ sont différents aisni que les entiers.
Voici un autre jeu, mais il ne simule pas l'existence d'une réelle injection de $E$ dans $\N$:
Suite de l'histoire:
{\it le magicien: "j'ai mon injection bien en tête. Donne-moi des éléments de $E$ et je te donne leur image par l'injection que j'ai en tête".
Le sceptique joue alors des $x_p\in E$ les uns après les autres, et à chacun le magicien répond par des $n_p\in \N$, différents les uns des autres, plus précisément $n_p\neq n_q $ quand $x_p\neq x_q$.
Et le magicien de frimer: "tu vois, pas de bugs, je t'égrenne un à un les images, c'est donc bien que j'ai l'injection dans la tête, sinon, tu pourrais me mettre en défaut"}
Il faudrait que le sceptique soit naif pour "croire" que c'est là une attestation que le magicien a bel et bien en tête une "vraie" injection de $E$ dans $\N$... non?
Vous n'allez probablement pas me croire et vous dire: "non, ça ne peut pas être aussi grossier!! Ce n'est pas ça la découverte de Cohen?"
Bah si: le forcing est résumé par cette histoire. Dès lors qu'il existe une "illusion" d'objet possible (comme l'illusion d'injection ci-dessus racontée à un scpetique bien crédule) alors il en existe une "réelle" dans un monde élargi, monde en plus dont la vie est accessible au monde de départ, via ses propres objets.
S'il n'existe pas d'objet "illusoire" réussissant une épreuve (peu importe l'épreuve, qui peut être d'un genre très général, par exemple une injection de $E$ dans $\N$) alors le sceptique {\bf a une stratégie (infaillible) qui lui permet de mettre en défaut en temps fini le "magicien"} (comme ce n'est par exemple pas le cas dans le jeu précédent, à la fin de l'histoire idiote
En particulier, tous les ensemble deviennent dénombrables dans des extensions générique convenables (mondes élargis).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Par exemple, (je choisis vraiment un exemple honteusement démago), les déçus par le paradoxe de Banach-Tarski se disent peut-être qu'il existe une mesure "extérieure à l'univers" (de la même façon qu'il existerait dans le cerveau invérifaible du magicien du msg précédent une injection de $E$ dans $\N$) qui mesurent "correctement toutes les parties de $\R ^3$, de manière que 2 ensembles superposables aient la même mesure et de manière que les ouverts soient de mesure non nulle.
Et bien, non il n'en existe pas: et la preuve du théorème de Banach Tarski {\bf donne une stratégie infaillible en 5* coups} pour mettre les prétentions du magicien en défaut.
*je crois que c'est 5Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Soit $E,F$ des ensembles (quelconque)
Je vais reformuler un théorème annoncé dans ce fil (quelques (peut-être bcp) msg plus haut):
Soit $T$ un ensemble dit d'exigences, à savoir une partie de $E^2\times F^2$
De 3 choses l'une:
(1)ou bien il existe une application $f$ de $E$ dans $F$ telle que pour tous $x,y$ dans $E$: $((x,f(x));(y,f(y))\in T$ (et dans ce cas, le joueurB a une stratégie infaillible évidente dans le jeu $G$ ci-dessous)
(3) ou bien le joueurA a une stratégie infaillible pour gagner dans le jeu $G$,
(2) ou bien le joueurB en a une, mais non(1)!
Jeu $G$: le joueurA joue $x_1\in E$, le joueurB répond $y_1\in F$, puis le joueurA répond $x_2$, puis le joueurB répond $y_2$ etc...
Pour gagner, le joueurA doit "mettre en défaut" son adversaire dans le sens qu'il doit exister $i,j\in \N$ tels que le couple $((x_i,y_i);(x_j,y_j))\notin T$
L'invention du forcing dit, en guise d'adage:
{\it Si on accepte de raisonner dans tous les mondes (extensions génériques comprises), alors le cas (2) "disparait"}.
Si vous voulez un théroème formel:
{\bf Soit $M$ un ensemble (dénombrable, transitif) qui vérifie tous les axiomes des maths que vous souhaitez**. Soit $E,F,T$ dans $M$ comme ci-dessus avec $M$ qui considère que $(E,F,T)$ n'est pas dans le cas (3). Alors il existe un ensemble $M_2\supseteq M$ qui vérifient aussi tous les axiomes des maths et qui considère que $(E,F,T)$ est dans la situation (1)}
Bien sûr, le forcing va beaucoup plus loin... Mais en comprenant ça, vous aurez compris {\bf toute la combinatoire} du forcing. Le reste sera très "qualitatif" et "purement logique".
**Ne vous demandez pas lesquels sont-ce, ça n'a pas vraiment besoin d'être précisé tant le théorème se redémontre indépendamment d'euxAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Un autre exemple, assez édifiant, de structure "rigide" (où on sait qu'on a tout) est celui des anneaux neothériens:
Si $A$ est noethérien et si $I$ est un idéal (pas forcément supposé dans le monde de départ) {\bf alors l'idéal $I$ est forcément dans le monde de départ}
En particulier, on ne peut pas "détruire" la noethérianité de $A$ en élargissant le monde. et on sait aussi que le monde où on "travaille" n'oublie aucun idéal
{\bf preuve:}
Soit $M$ un ensemble transitif vérifiant tous les axiomes des maths et $A\in M$
que $M$ considère comme un anneau noethérien.
$T:=$ l'ensemble des suites finies d'éléments de $A$
$M$ pense qu'il existe une application $f$ de $T$ dans un certain ordinal$\kappa$ telle que si la suite $(a_1,..a_{n+1})$ est telle que $a_{n+1}$ n'est pas dans l'idéal engendré par les $a_1,..,a_n$ alors $f((a_1,..,a_{n+1}))<f((a_1,..,a_{n}))$
Remarque: les ordinaux de $M$ sont de vrais ordinaux
Soit $I\subseteq A$ un idéal, non supposé être dans $M$. Autrement dit, $I$ est une partie de $A$ stable par le passage aux sommes de multiples.
Si $I$ n'est pas engendré par un nombre fini de générateurs alors on construit aisément une suite descendante d'ordinaux de $M$ (donc d'ordinaux).
$I$ étant donc engendré par un nombre fini de générateurs $a_1..a_n$, c'est l'idéal $(a_1)+..+(a_n)$ qui se trouve dans $M$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Avant de continuer la présentation (on va entrer dans la partie fastidieuse) du forcing, une énième digression: un petit rappel sur Godel car j'ai pu voir que certains fils (par exemple sur les équations diophantiennes) ignorent l'étendue de sa découverte (et du principe sur sa découverte)
En théorie des ensembles il est beaucoup plus facile de présenter l'idée de Godel qu'en arithmétique: c'en est même désopilant
Faites-moi confiance (pour l'instant), on peut presque tout "exprimer" avec le signe $\in$ et les mots logiques.
On s'intéresse à un monde (donc un ensemble) $M$ minimal pour la relation $\in $ à vérifier un certain axiome $A$ (un énoncé avec des $\forall, \exists, \in, \to $).
Bah dans un tel monde $M$, les habitants sont persuadés qu'il n'y a pas d'ensemble qui vérifie l'axiome $A$... S'ils arrivaient à le prouver il prouveraient leur propre inexistence (ce sont les philosophes en herbe de ce forum qui m'ont donné l'idée de parler de ce thème lol)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je tente un "preuve" de la consistance de la négation de l'hypothèse du continu "à l'arrache". Autrement dit, ne cherchez pas, dans un premier temps, à "comprendre" le sens de tous les mots. Observez (passivement) les arguments.
Une chose est sûre, je vais "affirmer" plein de choses, et me permettre plein d'inférences, mais: {\bf je n'aurai ensuite pas à justifier ce que je n'aurai pas affirmé (ni explicitement, ni tacitement)}.
Soit $M$ un "monde" (donc un ensemble) transitif quelconque, mais qui vérifie tous les axiomes des maths que vous souhaitez, qui ont un certain profil "raisonnable" (évidences et rêves divins que certains "adjectifs" constituent des ensembles) bref...
Dans $M$ il y a un cardinal $\kappa$ tellement grnad qu'entre celui de $\R$ et lui, il y a plein d'autres cardinaux.
Soit $B$ mon algèbre de Boole complète définie à l'alinéa 179854ter de la référence patati patata.
Soit $M_2$ un ensemble transitif qui contient $M$, qui est aussi "haut" que $M$ mais qui a l'excellente idée de contenir un ultrafiltre $M$-générique que j'appelle $G$ sur $B$. De plus je suppose que tous les éléments de $M_2$ sont d'une forme qui m'autorise à faire les raisonnements que je vais faire (vive les hypothèses).
$M_2$ vérifie alors tous les axiomes de maths. $M_2$ contient "évidemment" une surjection de son $\R$ sur $\kappa$. Question: $M_2$ pourrait-il par hasard penser que l'hypothèse du continu est vraie?
Et bien non: en effet, le cardinal du $\R$ de $M$ disons $c$ est bien en dessous de $\kappa$ et surtout il y a un cardinal $d$ strictement compris entre $c$ et $\kappa$. Le $\R$ de $M_2$ a un cardinal qui dépasse $\kappa$. l'ensemble des entiers appelé coquettement $\omega$ dans le contexte de la théorie des ensembles, est aussi le cardinal de $\N$... qui est plus petit que $c$, même vu dans $M_2$.
Du coup, la seule chose qui pourrait empêcher $M_2$ de croire à la négation de l'hypothèse du continu serait qu'il existe dans $M_2$ une surjection de $c$ dans $d$ qui n'existait pas déjà dans $M$. Est-ce possible?
La réponse est non: bon je sais que vous n'y comprenez pas encore vraiment quelque chose, mais ca va venir par petit bouts. Pour l'instnat mes arguments sont assez banals et généraux ($M,M_2,c,d$ c'est pas bien contraignant)
Appréciez la suite:
Soit $f\in M_2$ une surjection de $c$ sur $d$. {\bf Soit $Bil$ son nom}. C'est une notion qui sera précisée. $Bil$ est dans $M$!
chaque élément $u<c$ est transformé par $Bil$ en un ordinal $\alpha:=f(u)<d$, et regardons la valeur booléenne $t(\alpha,u)$ dans le $B$ de $M$ de la phrase {\it la fonction dont le nom est Bil transforme $u$ en $\alpha$}.
$t$ en tant qu'application de $d\times c$ dans $B$ est {\bf dans le monde $M$}
Les habitants de $M$ peuvent parler de $f$ (qu'ils appellent Bil) dans leur monde à eux. La seule chose à laquelle ils n'ont pas accès est... $G$.
De plus, ils ne se trompent pas dans le sens suivant:
$f(u)$ est le seul et unique $\alpha$ tel que $t(\alpha,u)$ est dans $G$.
Vues comment les choses sont faites, pour chaque $u\in c$, et pour des ordinaux $\alpha, \beta$ {\bf quelconques} et différents, $t(\alpha,u)$ et $t(\beta,u)$ sont "orthogonaux". Le choix de $B$ entraine qu'il n'existe qu'un nombre dénombrables d'ordinaux $\gamma$ tels que $t(\gamma, u)\neq 0$.
Et voilà le tour de force:
{\bf Certes, $f$ n'est pas dans $M$, mais il existe une application $g$ de $c$ dans l'ensemble des parties dénombrables de $d$ qui elle est dans $M$. Et elle a la propriété que pour chaque $u\in c$, $f(u)\in g(u)$. }
Du coup, même dans $M$, l'ordinal $d$ ne peut pas être un cardinal, ie, il y a une surjection de $c$ sur $d$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Encore une fois, lisez d'une manière "détachée" sans chercher trop loin le sens des mots.
Dans le monde $M$ l'ordinal $c$ est le cardinal de $\R$, $d$ est un cardinal plus grand et $\kappa$ est encore plus grand.
Les habitants de $M$ ont écrit un "système" qui exige (au sens où un système exige ou plutôt "désire" des solutions) qu'une certaine $h$ (nommée Tom) soit une injection de $\kappa$ dans $\R$ en ce sens qu'elle est une injection de $\kappa$ dans les suites de zéros et de $1$, qui elles, peuvent très bien, à priori, ne pas être des suites qui existent déjà. Ils ont aussi une notion de forcing.
{\bf La seule chose qu'ils ne connaissent pas c'est la manière dont le père noel va les satisfaire, s'il les satisfait, mais ils ont passé une commande de gens à la mentalité sédentaire}
Ainsi, ils peuvent "controler" tout ce qui arrivera à Bil et aux autres objets à travers des "noms".
Dans le monde "élargi" où le père noel déposera leurs cadeaux, il y aurait, si HC était démontrable, une certaine surjection $f$ de $c$ dans $d$ et elle aurait un "nom" (Bil) à travers lequel les gens de $M$ pourrait en parler.
Jusque là rien d'extraordinaire! Je n'ai mis aucune contrainte méchante à part celle qui demande au père noel une injection de $\kappa$ dans un new "$\R$"
La découverte de P.Cohen a été de remarquer que tous ces désirs sont exprimables d'une manière qui autorise (et même {\bf oblige}) $f$ à "apparaitre grace à une algèbre de Boole complète vérifiant la CCC (des valeurs orthogonales 2 à 2 ne peuvent former que des ensembles dénombrables)...
Et précisément, c'est celle induite par les {\bf applications partielles à domaines finis inclus dans $\kappa \times \N$ à valeurs dans $2$}
C'est objets forment "une base" dense de valeurs booléennes pour une certaine algèbre de Boole. Chaque application partielle représente une information partielle.
L'orthogonalité (qui correspond à "se contredire") de 2 telles "infos" c'est quand elles ne peuvent être restriction d'une même application.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Il est peut-être temps que je donne une définition légèrement technique, et ce afin, ensuite, de donner l'exemple d'un des énoncés dont l'indécidabilité est dans les plus faciles du monde à démontrer grace au forcing (bouuu que c'est mal dit...).
On définit de la manière suivante les $L_\alpha $ quand $\alpha $ varie sur les ordinaux:
$L_0:=\emptyset $ et
Si $\alpha $ est un ordinal limite alors $L_\alpha:=$ l'union des $L_\beta $ qui précèdent.
Sinon, $L_{\alpha +1}:=$ l'ensemble des sous-ensembles {\it définissables avec des paramètres} de $L_\alpha$.
La réunion $L$ des $L_\alpha$ quand $\alpha $ parcourt tous les ordinaux n'est bien sûr pas collectivisante (ie est une collection trop grosse pour être un ensemble), et a la propriété suivante: elle vérifie tous les axiomes de ZFC + AF (l'axiome de fondation).
Ainsi, l'axiome qui affirme {\it tout ensemble est dans un des $L_\alpha $} est consistant avec le reste des axiomes de ZFC. Il est signalé généralement par le sigle $V=L$.
L'intérêt de $L$, c'est que le $L$ d'un ensemble $M_1$ qui vérifie tous les axiomes des maths {\bf est le même} que le $L$ d'un ensemble $M_2$ aussi haut que $M_1$ et contenant $M_1$. Ainsi, il {\bf suffit} que $M_2$ contienne strictement $M_1$ pour que $M_2$ vérifie $V\neq L$ comme axiome.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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