Calcul d'une primitive ...

Rouliane

Bonjour,

Je n'arrive plus à montrer que $\displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} = ln(t+\sqrt{1+t^2})$.

Pourriez-vous m'aider svp. ( Je vois pas quel changement de variable faire )

Merci,

Rouliane

gilles benson

$t=\sinh(u)$

Sisbai

Salut

Ce n'est pas un problème de changement de variable il me semble.

$\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ est la dérivée de $argsh(t)$

Ensuite on montre (ou on sait) que $argsh(t)=ln(t+\sqrt{1+t^2})$.

a+

Aleg

Je ne comprends pas.
Pour démontrer que $\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} = ln(t+\sqrt{1+t^2})$, il suffit de dériver le membre de droite...

gilles benson

oui mais il voulait faire un changement de variable...

Rouliane

Merci à vous pour vos réponses.

Gilles Benson >> effectivement, je n'y avais pas pensé, je trouve alors qu'une primitive est $\mathrm{argsh}(t)$, reste à montrer que c'est égal à $\ln(t+\sqrt{1+t^2})$.

Sisbai >> encore fallait-il remarquer que c'était la dérivée de $\mathrm{argsh}(t)$

Aleg >> effectivement Aleg, on peut faire ça, mais je me demandais comment calculer une primitive de cette fonction en imaginant qu'on ne connait pas le résultat.

Sinon, pour montrer que $\mathrm{argsh}(t)=\ln(t+\sqrt{1+t^2})$, on peut dériver les deux fonctions, montrer qu'on trouve la même dérivée, puis dire qu'elles ont la même valeur en 0 par exemple.
Mais y a-t-il un autre moyen ?

Merci encore à vous

Sisbai

Oui :

on pose $y=argsh(t)$
$\forall x\in\R, ch^2x-sh^2x=1$ d'où $ch(y)=\sqrt{1+t^2}$
puis $e^y=ch(y)+sh(y)=t+\sqrt{1+t^2}$
d'où $y=\ln(t+\sqrt{1+t^2})$

a+

Rouliane

ah oui bien sur, merci !

gilles benson

Rebonjour, en fait, on peut directement résoudre l'équation: $\sinh(x)=y$ de la façon suivante:
$$\frac{e^x-e^{-x}}{2}=y$$
On pose $X = e^x$, soit : $X^2-2yX-1=0$
$\Delta ' = y^2+1 > 0$
$e^x = y+\sqrt{y^2+1}$
$$x=\ln(y+\sqrt{y^2+1})$$
ce qui donne une formule pour la bijection réciproque de $\sinh$ sur $\R$.

La méthode est la même pour le cosinus hyperbolique...
La méthode de Sisbaï donne les deux d'un coup...

Rouliane

Merci.