Quelle topologie ?

Bonjour,

soit X une variété lisse. Quelle topologie entend-on lorsqu'on parle de la topologie "canonique" sur l'ensemble des difféomorphismes de classe C infini de X dans lui-même ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Tu choisis un système de cartes et une partition de l'unité associée.
    Tu définis une base de voisinages d'une fonction $f$ dépendant d'un entier $k$, d'un compact $K \subset X$ et d'un nombre $\epsilon$.
    Le voisinage $V_{K,\epsilon,k}$ consiste dans les fonctions $G$ dont les $k$-premières dérivées de $f-g$ calculées dans les cartes et restreintes à $K$ multipliées par ta partition sont plus petites que $\epsilon$.
    (Clair ou plutôt confus ?)
    Mauricio
  • Pour une topologie canonique, on peut dire qu'elle n'est pas si évidente que cela.
    Par contre, je ne sais pas ce que tu entends pas f-g. A priori, X n'est pas muni de structure d'espace vectoriel, il y a certainement quelque chose que je n'ai pas saisi.
  • J'avais mal lu ta question, j'ai considéré le cas des fonctions.
    Pour les difféo, ça ne change pas grand chose vu que lu dans un carte un difféo n'est rien d'autre qu'une collection de fonctions.
    Par contre en général on précise s'il s'agit de topologie $C^k$ ou de topologie $C^\infty$.
    Il n'est pas évident que la topologie que tu definis ne dépende pas du choix de la partition de l'unité, mais essentiellement cela provient du fait que le contact de deux sous-variétés est une notion intrinsèque.
    Si tu sais ce qu'est un fibré de jet alors c'est simplement que les jets sont $C^0$ proches.
    Une autre solution est de choisir une métrique riemannienne mais alors il faut montrer que ta topologie ne dépend pas de la métrique (un peu comme dans les cours élémentaires on montre dans un e.v. de dim finie toutes les normes sont équivalentes).
    M.
  • Est ce que cela a un rapport avec la topologie de Withney ?
  • Pour une variété compacte c'est la même chose. Dans le cas non compact, il me semble que pour la topologie de Whitney on regarde juste la distance entre les $k$-graphes donc ce n'est pas la même chose (dans l'autre cas on prend un compact etc.).
    (sans garantie, je n'ai aucun livre sur moi pour vérifier)
    Mauricio
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