vecteurs seconde

Euclide2

ABCD est un parallélogramme.
M et N sont les points tels que :
AM = 2/3 AB et CN = 2/3 CD (il s'agit de vecteurs)

Démontrer que BMDN est un parallélogramme : pas de pb

La droite (AC) coupe (DM) en E et (BN) en F.

Déterminer les réels k, k' et h tels que :
AE = k AC; EF = k' AC; AF = h AC (il s'agit de vecteurs)

J'y suis arrivé à coups de Thalès mais pas avec le calcul vectoriel.
J'ai introduit le point O milieu des diagonales de ABCD et j'ai exprimé les points A,B,C,D,M,N dans le repère (O,OA,OD)

Mais je n'y suis pas arrivé pour E et F


Démontrer que MENF est un parallélogramme : pas de pb

La droite (BC) coupe (DM) en G et (MN) en H.

Démontrer que M est le milieu de [NH]
Démontrer que G est le milieu de [BH]

Même pb, j'y arrive à coups de Thalès mais on est dans le chapitre sur les vecteurs !

Désolé, je ne suis pas arrivé à écrire les vecteurs en LaTex, je doute que dans mon lycée quelqu'un ait entendu parler de LaTex, les devoirs sont rédigés encore à la main et la plupart des profs n'ont pas de micro chez eux !

egoroff

Salut,

Pour le premier, tu sais que $\overrightarrow{AE}=k \overrightarrow{AC}$ ce qui exprime que $E$ est sur la droite $(AC)$. L'idée est de traduire vectoriellement l'autre information qu'on a sur $E$, à savoir qu'il est sur la droite $(MD)$ (il faut bien utiliser la définition du point $E$ !) : il existe donc un réel $x$ tel que $\overrightarrow{ME}=x \overrightarrow{MD}$. On va maintenant combiner ces deux égalités pour obtenir une équation vectorielle, qu'on décompose selon deux vecteurs de base (disons $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$) pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues ($k$ et $x$). Il y a mille et une façons de le faire selon l'ordre des Chasles successifs, voilà un exemple :
$$k \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{AM} + x \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AM} + x(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}) = (1-x) \overrightarrow{AM} + x \overrightarrow{AD}$$
D'où :
$$k (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \frac{2}{3}(1-x) \overrightarrow{AB} + x \overrightarrow{AD}$$
D'où :
$$(k-x) \overrightarrow{AD} = \left( \frac{2}{3}(1-x) - k \right) \overrightarrow{AB}$$
Puisque $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont non colinéaires, on en déduit que $k-x=0$ et $\left( \frac{2}{3}(1-x) - k \right) = 0$ ; système qui se résout en $k=x=\frac{2}{5}$. Ca devrait marcher pareil pour la suite.

Euclide3

OK j'ai compris le principe.

Merci

lily-fleur

ABC est un triangle.

1) Construire les points D et E tels que:

CD= 2 AB et EC = 1/3 AB (pa de problème)

2) Déterminé le réel k tel que CD = k CE

3) Que peut-on en déduire pour les points E, C et D ?justifier

Voila j'ai un petit problème avec la question 2) et 3) et une petite aide ne seré pa de refus merci d'avance!

bourba

Bonjour,
pour la 2, il faut écrirele vecteur AB en fonction du vecteur EC. puis écrire une suite d'égalités avec des vecteurs en commençant par CD = 2AB = et continuer en remplaçant le vecteur AB par ton résultat précédent.
pour la 3, la relation trouvée en 2) te permet de dire que les vecteurs sont colinéaires. Celle-ci entrainant toujours soit l'allignement de points, soit le parralélisme de 2 droites( relie ceci avec ton cours).
Bon courage pour finir.

lily-fleur

ok mintenant j'ai compris
MERCI!!!!

stfj

Bonjour,

sagemath via

_________________________

def norm(P):
    return P/(Linf*P)
def vecteur(A,B):
    return norm(B)-norm(A)
Linf=vector([1,1,1])
A=vector([1,0,0]);B=vector([0,1,0]);C=vector([0,0,1])
CA=C.cross_product(A)
BC=B.cross_product(C)
M=vector([1,2,0])
D=vector([1,-1,1])
N=vector([2,-2,3])
DM=D.cross_product(M)
E=CA.cross_product(DM)
print(E)
BN=B.cross_product(N)
F=CA.cross_product(BN)
print(F)
print (vecteur(A,E)/vecteur(A,C))
print (vecteur(E,F)/vecteur(A,C))
print (vecteur(A,F)/vecteur(A,C))
G=DM.cross_product(BC)
MN=M.cross_product(N)
H=BC.cross_product(MN)
print(3/2*(norm(N)+norm(H)))
print (M)
print((norm(B)+norm(H)))
print (G)

__________________

fournit

(3, 0, 2)
(-2, 0, -3)
2/5
1/5
3/5
(1, 2, 0)
(1, 2, 0)
(0, 3, -1)
(0, 3, -1)

ie l'ensemble des résultats demandés.https://www.geogebra.org/classic/ahdb9ztg

Cordialement.

biely

@stfj
Si tu pouvais éviter les déterrages de fils avec des ’’bonjour’’  (cette fois j’ai bien fait attention que ce bonjour répondait à un message de 2007!  )

stfj

Pourquoi ? D'après les commentaires, en 2007, il y avait peu d'utilisation des ordinateurs dans le secondaire. Aujourd'hui, la situation est différente et mérite une réactualisation. Avec ou sans bonjour qui est adressé aussi à celles et ceux qui viendraient à lire le fil à l'avenir.

gerard0

C'est idiot, ce message pose une question en rapport avec le programme de 2007, à laquelle tu ne réponds pas. Mais manifestement, tu t'ennuies et tu viens faire ici montre de ta capacité à répondre à des questions élémentaires avec des outils sophistiqués. Ça fait bien rigoler !

Stfj, l'homme qui prend une masse pour écraser une puce !

Vassillia

Bonjour, est-ce que le message de stfj est utile pour l'auteur du fil ? C'est certain que non mais on peut penser que cela ne le dérangera pas non plus depuis le temps.
Est-ce des maths ? Oui 
Est-ce le but de de ce forum ? Oui 
En quoi cela vous dérange vous qu'il se fasse plaisir à utiliser une masse pour écraser une puce ? Accessoirement, il faut bien apprendre à se servir des outils sophistiqués et je suis prête à parier que stfj commence à savoir résoudre plus de problèmes que bon nombre des membres de ce forum en géométrie, peut-être justement car il a pratiqué et repratiqué.
Ne te laisse pas décourager @stfj tu as bien raison de résoudre les problèmes que tu veux comme tu le veux et pas besoin ni de leur autorisation ni de leur assentiment.

stfj

[Edit ]

Je sais que j'ai bien raison. Et j'espère en convaincre d'autres. Je signale que ce qui est présenté comme "une masse" m'a été présenté comme un outil utilisable à bac-4 par @pldx1. Il me reprochait alors avec humour de chercher à utiliser des connaissances mal digérées de bac+4. Si cela en intéresse d'autres, j'expliquerai volontiers en quoi il s'agit d'un outil utilisable à bac-4 en 2024, ie par des élèves de collège dont on ne cesse ailleurs de se lamenter du niveau. Je me rappelle une explication de pldx1 par exemple : $$\begin{pmatrix}3 & 5 & 7\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2,50 \\ 1,99 \\ 7,49\end{pmatrix}$$

c'est "une masse "(?!?). Jugeons-en : c'est 3 stylos à 2,50 euros; 5 gommes à 1,99 euros; et 7 compas à 7,49 euros. On distingue bien la droite des objets et les points des prix. On est loin de la phase Terminale(je reprends volontiers le vocabulaire de la vulgate ixienne) où on rabâche "parallélogramme", "vecteurs", "Thalès", "calcul vectoriel", "milieu",... destinés à... L'axiome d'Archimède+Thalès+Cantor, les relayant utilement.

Vassillia

Moui enfin si tu veux convaincre, je suggère d'éviter la provocation "sénilement", "poubelle de l'histoire pédagogique"

La pédagogie nécessite souvent (pour ne pas dire toujours) plusieurs approches et même si je te rejoins sur le fait que c'est jouable, à petit niveau, il ne faut pas perdre une certaine visualisation, et le coté ludique de jouer avec les figures, sinon on risque de démotiver les troupes qui ne sont déjà pas très motivées la plupart du temps.

stfj

lily-fleur a dit :

ABC est un triangle.

1) Construire les points D et E tels que:

CD= 2 AB et EC = 1/3 AB (pa de problème)

2) Déterminé le réel k tel que CD = k CE

3) Que peut-on en déduire pour les points E, C et D ?justifier

Voila j'ai un petit problème avec la question 2) et 3) et une petite aide ne seré pa de refus merci d'avance!

$D-C=2(B-A)$ & $E-C=-1/3(B-A)$. Donc $k\doteq \frac{D-C}{E-C}=\frac {2(B-A)}{\frac{-1}{3}(B-A)}=\frac21\times \frac{3}{-1}=-6$

(Attention ! Démonstration simple et accessible à tous, risquant donc d'être interdite .)

bd2017

Bonjour

Je n'ai rien contre les calculs avec les coordonnées cartésiennes, les coordonnées barycentriques....etc et les faire à la main ou avec l'aide d'un logiciel de calcul formel. Mais il n'y a rien de sophistiqué à faire des produits scalaires ou des produits  vectoriels avec sagemath pour résoudre un problème de collège ou lycée.  En tout cas, il n'y a aucun bon sens et aucune pédagogie à résoudre le problème initial  de cette façon alors que c'est un problème de niveau collège. 

Sur la figure ci-dessous, par exemple, on a aucune difficulté  à dire  que $\vec{EF}=1/5 \vec{AC}$ et il n'est pas sénile de le justifier avec le théorème de Thalès.  Oui, je pense qu'on utilise ici une sorte de grosse artillerie pour écraser une mouche. 

Vassillia

Je n'y vois qu'un seul avantage en effet, s'entraîner à jouer de la masse depuis le plus jeune âge sachant que cet outil est suffisant pour résoudre tous les problèmes qui sont solitionnables autrement. Honnêtement, on m'aurait montré cela plus jeune, j'aurais adoré et refusé d'apprendre autre chose, pas de temps à perdre. D'autres enfants resteront intéressés par autre chose car ils ou elles trouvent cela joli. Moi ce que je trouve magnifique c'est de systématiser les solutions lorsque c'est possible.

raoul.S

Parfois pour savoir si ce qu'on fait est "bien" ou pas on devrait se poser la question : si tout le monde faisait comme moi il se passerait quoi ?

Ici on peut se poser la question : si tous les membres du forum commençaient à déterrer de vieux fils ça donnerait quoi ? Genre chacun déterre 3-4 vieux fils par jour pour répondre à une question d'un type qui n'est plus là depuis des années... et qui a déjà reçu une réponse à l'époque.

stfj

La question que je soulève en déterrant ce fil, est d'importance et va bien au-delà selon moi d'une simple réponse à une question d'élèves du secondaire (@Euclide2 et @lily-fleur )un peu perdus. 

Existent des méthodes $^1 $ (qualifiées de masse) qui permettent de résoudre le problème simple de ce fil mais aussi des méthodes similaires permettant de résoudre des problèmes qui justifient un article dans une revue de géométrie parue en 2021 (voir  le document donné en pièce jointe par Vassillia dans la discussion indiquée.)

 Or, ces méthodes ne sont pas du tout enseignées dans les collèges français ni même les lycées. Alors qu'en consultant internet, on peut les trouver un peu partout(ici déjà enseignées en IUT ), y compris envisagées par des pédagogues pour leurs jeunes élèves.

N'est-il pas intéressant dès lors de s'interroger sur la pertinence oui ou non d'enseigner dans un avenir plus ou moins proches ces méthodes clairement efficaces, dans l'enseignement secondaire français ? D'autant plus que les méthodes traditionnelles manquent parfois d'efficacité pour des @Euclide2 ou de @l@lily-fleur comme ici ? Ne doit-on pas tenter autre chose en plus ?

____________________________________

$^1$ Ces méthodes n'ont rien de révolutionnaires et je les trouve par exemple dans le Compléments de géométrie algébrique, tome 4 du cours de Doneddu de math sup/spé de 1973 chez Dunod.

gai requin

Oui, faire de l'algèbre mais il n'y en a plus qu'en maths expertes choisies par 16% des élèves de Terminale.

stfj

16% des élèves de Terminale, c'est beaucoup de personnes. Je n'ai jamais été pour les fausses démocratisations scolaires.

Julia Paule

Concernant l'exercice qui a initié le fil, le répondeur egoroff a utilisé 2 variables. Mais une seule est suffisante.
@stfj Saurais-tu le faire ?

Julia Paule

...

zeitnot

gai requin a dit :

Oui, faire de l'algèbre mais il n'y en a plus qu'en maths expertes choisies par 16% des élèves de Terminale.

16% des élèves de terminale..... générale.

gai requin

Oui, 5 élèves sur 1000 font un peu d’algèbre, ce qui est sans doute trop pour @stfj qui lui-même n’en fait pas beaucoup 😉