sur les séries normalement convergentes

Lora2

Quelles sont les séries entières normalement convergentes sur R ?

Merci de vos réponses !

bisam

pour quelle norme ?

gilles benson

la série nulle?

Lora2

C'est notre prof qui nous a posé la question, on est en train de faire les séries entières. Pour toutes les normes ?

abdelbaki.attioui1

$\sum a_nx^$ converge normalement sur $\R$ ssi $\sum \sup_{x\in\R}|a_nx^n|$
converge

pat4

si une serie entière converge normalement sur R alors la suite de ses sommes partielles (qui sont des polynomes) converge uniformement sur R. Mais il est bien connu qu'une suite de polynomes uniformement convergente sur R est constante a partir d'un certain rang (et cv donc vers un polynome). En resume les seules series entieres qui CVN sur R sont les series $\sum_n a_nz^n$ ou $a_n$ est nul a partir d'un certain rang ie associes a un polynome...

bisam

pat Écrivait:

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> il est bien connu qu'une suite de polynomes
> uniformement convergente sur R est constante a
> partir d'un certain rang (et cv donc vers un
> polynome).

C'est peut-être bien connu mais c'est faux... du moins la conclusion partielle est fausse.
La suite de polynômes peut très bien ne varier que d'une constante qui tendarait vers 0... auquel cas la convergence serait bien uniforme sans que la suite ne fût stationnaire.
En revanche, la suite converge effectivement nécessairement vers un polynôme dans ce cas donc la conclusion de pat reste exacte.

pat4

merci de preciser c'est une constante pres bien entendu, du coup la serie entiere a bien ses coef nuls a partir d'un certain rang

clems0

Bonjour,

Que pensez vous de la série {x^n/n!} ==> qui donne exp(x) ?

egoroff

Je pense qu'elle converge normalement sur tout compact $K$ de $\R$, parce qu'on a sauf erreur $\sup_K |x^n/n!| = (\max (\min K, \max K))^n / n!$ qui est le terme général d'un série convergente (plus généralement une série entière converge normalement sur tout compact inclus dans son disque de convergence) ; mais elle ne converge pas normalement, ni même uniformément, sur $\R$, parce que $\sup_{\R} |x^n/n!|=+\infty$ qui n'est pas le terme général d'une série convergente.

Archimède

Soit une série entière $\sum a_n\,x^n$.
On pose $\alpha_n=\hbox{sup}_{x\in\R}\,|a_n\,x^n|$.
On dit que la série entère converge normalement sur $\R$ si $\sum \alpha_n < +\infty$.
Or pour $n\geq 1$, si $a_n\not=0$, on a $\alpha_n=+\infty$.
Donc les seuls séries entières convergeant normalement sur $\R$ sont celles telles que $a_n=0$ pour tout $n\geq 1$.

Par contre si l'on prend comme série entière un polynôme, alors il y a seulement convergence normale {\bf à partir d'un certain rang} !

Une série convergeant normalement sur une partie $A$ à partir d'un certain rang, doit avoir, à partir d'un certain rang, ses termes bornés sur $A$.

bisam

Certes mais si on veut être mesquin, la conclusion de pat (et la mienne par conséquent) reste exacte... mais pas optimale.