holomorphie et continuité

JeanJean1

Salut

Désolé si la question peut paraître naïve, mais est-ce que f holomorphe implique que f soit continue ??

Je dirai oui.

Merci

christophe c

oui! et même indéfiniment dérivable

egoroff

Oui, enfin c'est quand même plus facile de montrer la continuité ! On sait que $\frac{f(z)-f(a)}{z-a}$ tend vers une limite finie $\ell$ lorsque $z$ tend vers $a$, en multipliant par $(z-a)$ qui tend vers $0$, on obtient une expression qui tend vers $\ell \times 0 = ...$ ? Indice : ce n'est pas une forme indéterminée.

christophe c

A propos d'holomorphisme, quelqu'un serait-il capable de prouver qu'une fonction holomorphe est 2 fois dérivable {\bf sans passer} par des lacets? (D'une manière directe)

Toto.le.zero

christophe chalons Écrivait:

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> A propos d'holomorphisme

Ne dit-on pas aussi "holomorphie" ?

christophe c

ah si j'ai l'impression, ça sonne mieux, c'est plus léger...

jean

{\it quelqu'un serait-il capable de prouver qu'une fonction holomorphe est 2 fois dérivable sans passer par des lacets? (D'une manière directe)}

A priori, je dirais {\it non} car, de mon souvenir pour montrer qu'une fonction est holomorphe, on montre d'abord qu'elle admet une primitive complexe, puis on montre (par des lacets et formules de Cauchy et tout le tralala) qu'elle est analytique. Si on pouvait montrer qu'elle était de deux fois dérivable, il n'y aurait pas besoin de chercher à primitiver, non ? [...]

[...] mais maintenant que je me relis, je dis {\it oui}, partiellement : une fonction holomorphe est harmonique (c'est à dire de laplacien nul, au sens des distributions). Or une fonction harmonique a la propriété caractéristique suivante : $f(a)$ est égale à l'intégrale de $f$ autour de tout cercle de centre $a$. En particulier, si on prend des 'cercles flous', {\it i.e.} si on convole $f$ par $\phi_R$, où $\phi_R(x,y)=\frac1{2\pi R} \psi\Big(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{R}\Big)$ et $r\mapsto\psi(r)$ est une fonction de troncature (indéfiniment dérivable, positive, à support compact, d'intégrale égale à $1$ sur $\R$), on trouve que $f(a)=\phi_R*f(a)$ dès que l'expression peut avoir un sens, c'est-à-dire dès que la boule de centre $a$ et de rayon $R$ est inclus dans le domaine de définition de $f$. Comme $\phi$ est de classe $C^2$ et que $f$ est continue, $f=\phi_R*f$ ext aussi de classe $C^2$ (et, par le même raisonnement, $C^\infty$).

Remarque 1: j'utilise certes des lacets en parlant de cercles de centre $a$, mais sans utiliser d'homotopie, et tout ce qui est compliqué sur le plan topologique avec des fonctions holomorphes.

Remarque 2: cette preuve est, {\it mutatis mutandis}, la même (pour des fonctions harmoniques) en toute dimension $n$, et pas seulement $n=2$.

christophe c

Merci Jean,

{\it j'utilise certes des lacets en parlant de cercles ...}

Par contre, c'est vrai que ma question demandait une absence TOTALE de lacets mais j'avoue que je me (et je la) repose cette question tous les 5ans sans que cela semble possible. Ce serait éventuellement intéressant d'avoir une preuve qu'en un certain sens une telle preuve (rigoureusement sans lacet) n'existe pas