Théorème de Stone-Weierstrass

Bonsoir,

Je recherche quelques précisions sur le théorème de Stone-Weierstrass qui, cité sous sa forme classique, m'est relativement obscur.
Plus précisément, j'aurais aimé savoir si ce théorème me garantit bien qu'il existe des fonctions $\psi_1^k$, $\psi_2^k$ et $\psi_3^k$ telles que
\begin{equation*}
\psi(x_1,x_2,x_3)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n \psi_1^k(x_1)\psi_2^k(x_2)\psi_3^k(x_3)
\end{equation*}
uniformément, où $\psi : \R^3\rightarrow \R$ est une fonction continue donnée.

Amicalement,

Réponses

  • Le théorème de SW s'applique avec des espaces de départ compacts.
  • Dans un cadre plus simple ("la version la plus élémentaire").

    Le théorème donne : si $f$ est une fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$, alors il existe une suite de fonction polynomiale de $[0,1]$ dans $\R$ qui converge uniformément vers $f$.

    Il ne donne pas : si $f$ est une fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$, alors il existe une suite de réels $(a_k)_k$ telle que la suite des fonctions $f_k$ de $[0,1]$ dans $\R$ définies par
    $$
    f_k(x)=\sum_{i\le k} a_i x^i
    $$ converge uniformément vers $f$.

    D'ailleurs comment montrer facilement que le résultat précédent est faux (s'il l'est vraiment !) ?
  • Oui en effet Toto, je me suis trompé pour $\psi$ elle est bien définie sur un compact.
    Avec cette précision, est-ce vrai ?

    Yop : mes compétences en analyse sont bien maigres, je ne vois pas le lien avec ce que tu dis.

    Amicalement,
  • Je suis pas sûr vu que les conditions que tu demandes sont assez fortes.
  • Kuja,

    Sauf bévue et sans relecture,

    Je me place dans l'algèbre $A$ des fonctions continues de $[0,1]^3$ dans $\R$. Je note $B$ le sous-espace vectoriel engendré par les fonctions de la forme
    $$
    (x,y,z)\mapsto f(x)g(y)h(z) \quad (*)
    $$
    ($f,g,h$ continues de $[0,1]$ dans $\R$).
    C'est une sous-algèbre de $A$. Elle sépare les points etc. Stone-Weierstrass te donne la densité de $B$ dans $A$. Bref tout élément de $A$ est limite d'élémenst de $B$. Les éléments de $B$ sont des sommes de fonctions du type (*). Mais cela ne te dit pas que tout élément de $A$ est somme d'une série de fonctions de type (*).

    Dans le cas élémentaire, Stone-Weierstrass te donne que toute fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$ est limite de fonctions de type "somme de monomes", msis cela ne te dit pas que toute fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$ est limite d'une série de monomes.

    Je ne sais pas si je suis beaucoup plus clair...
  • Ah, je crois que j'ai saisi, merci d'avoir insisté Yop !
    Le problème vient de moi et de ma notation archi-foireuse $\psi_1^k$ qui ne signifie pas $\psi_1$ à la puissance $k$, mais la $k$-ième fonction de la variable $x_1$ dans la somme.
    Du coup, si j'ai bien compris ton dernier message, ce que je recherche est vrai, non ?

    Amicalement,
  • Nop. Je change un peu tes notations.

    Tu approches une fonction $\phi$ par une suite de fontions $\phi_1,\phi_2,\dots$.

    On a (par exemple) pour tout $(x,y,z)$ etc. :
    $$
    \phi_1(x,y,z)=f_1^1(x)g_1^1(y)h_1^1(z)
    $$
    et
    $$
    \phi_2(x,y,z)=f_1^2(x)g_1^2(y)h_1^2(z)+f_2^2(x)g_2^2(y)h_2^2(z).
    $$
    Mais on n'a aucune raison d'avoir $f_1^1=f_1^2$ etc.
  • Ok Yop, merci encore, je suis vraiment un âne des fois.

    Amicalement,
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