zéros de polynômes

borde

Bonjour,

De temps en temps, je présenterai ici certains articles récents qui me paraissent intéressants.

En voici un, publié à Math Ineq and Appl, concernant l'obtention de couronnes contenant toutes les racines de polynômes quelconques. Sa lecture ne nécessite qu'un bagage normalement acquis par tout étudiant de première année.

\lien {http://www.mia-journal.com/files/9-1/full/09-11.pdf}

Bonne lecture,

Borde.

Ritchie

Très bonne idée!

Je m'en vais de ce pas lire cet article.

Bonne continuation,

Ritchie

galax

Bonjour Borde,

J'ai lu ton pdf intéressant.

Une question qui se pose :

Quels sont d'autres méthodes de "localisation" de racines d'un polynôme pour lesquels la théorie est aussi élémentaire que celle de ton pdf?

Sinon, la revue http://www.mia-journal.com/ dans laquelle se trouve ton pfd est bien interessante.

Sincèrement,

Galax

borde

Tiens,

Mon fil remonte...grâce à Galax !

Il y a d'autres résultats en ce qui concerne les localisations de racines. Par exemple, on en trouve aussi au JIPAM en lisant des articles de Panaitopol et Stepanescu, par exemple.

Quant à la revue MIA, elle a surtout l'intérêt d'être en ligne. Je la consulte parfois, même si je trouve qu'il y a beaucoup d'articles sur un même sujet (il fut une époque où les fonctions "starlike" étaient très à la mode...).

Borde.

galax

Bonsoir Borde,

J’espère que cette intervention est dans l’esprit que tu souhaiterai avoir pour ce fil.
***

Voici un résultat du à Jensen (Acta mathem. 36 1913 190) et démontré par Walshem (Comptes rendus du congrès des math., Strasbourg 1920 339-342) mais dont je n'ai pas vu des articles originaux.

Tout d'abord une définition :

On sait que des racines non réelles d'un polynôme à coefficients réels P sont toujours conjuguées 2 à 2.
Soit le segment D qui joint deux racines conjugués. On appelle le cercle de Jensen, le cercle de diamètre D passant par ces 2 racines conjuguées

Et voici l’énoncé de théorème de Jensen qui est (d’après moi) une jolie généralisation du théorème de Rolle)

Théorème (Jensen)
Soit P polynôme réel non constant de d° n ,
toute racine non réelle de P' se trouve à l'intérieur d'un cercle fermé de Jensen associé à P.



Je ne sais pas si ce théorème est très connu, mais peut-être quelqu’un voudrait essayer le démontrer.

Sincèrement,

Galax

Toto.le.zero

les racines de P' sont situées dans l'enveloppe convexe des racines de P (Lucas).

galax

bonsoir Toto.le.zero,

Oui, ces deux propriétés se "complètent".
L'intersection de cercles de Jensen et de l'enveloppe convexe d'un polynôme P permet localiser d'avantage les racines non réelles de P'


Je viens trouver une référence de Zervos, Spiros P.
Aspects modernes de la localisation des zéros des polynomes d'une variable.
Je l'ai parcouru et sa lecture me semble intéressante:
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1960_3_77_4/ASENS_1960_3_77_4_303_0/ASENS_1960_3_77_4_303_0.pdf

Sincèrement,

Galax

christophe c

Est-ce que quelqu'un pourrait résumer l'état de l'art dans le thème suivant:

{\it système d'équations polynomiales, on cherche des solutions sur $\R$. On suppose satisfaisante la situation dans $\C$ (qui est presque "idéale" tous les systèmes finis*** ayant des solutions sauf s'il est trivial qu'ils n'ont en pas, on veut ramener un système sur $\R$ à un système sur $\C$}

-Omar-

Bonjour,

Merci beaucoup Borde pour l'article. Il est bien intéressant et tombe à pique en ce qui me concerne....

En ce qui concerne le théorème de Jensen, il est traité en exercice dans le
Francinou-Gianella "Exercice de mathématiques pour l'agrégation". C'est un résultat connu.

Amicalement
Omar