Une inégalité ....

Rouliane

Bonjour,

J'ai un petit problème avec une inégalité que je n'arrive pas à trouver.
J et K sont définies sur ]0;+$\infty$[ par :

$\displaystyle J(u)=uln(u)-u+1$ et $J(0)=1$.
$\displaystyle K(u)=\frac{J(u)}{u}$

J'ai montré avant que $\displaystyle J(u) \geq \frac{(1-u)^2}{2}$, pour $\displaystyle u \in [0;1]$.

Je dois montrer maintenant que $\displaystyle K(u) \geq \frac{1}{2}(1-\frac{1}{u})^2$ pour tout $u \geq 1$ , mais je n'y arrive pas.

Merci d'avance de votre aide.

Rouliane.

gb

Ton inégalité est équivalente à $(u-1)^2 \leq 2u^2K(u) = 2uJ(u) = 2u^2 \ln(u) - 2u^2 + 2u$.

Je note donc $f(u) = 2u^2 \ln(u) - 2u^2 + 2u - (u-1)^2$. Sauf erreur de calcul, je trouve $f'(u) = 4u\ln(u) - 4u + 4$ et $f''(u) = 4\ln(u)$.

Sur $[1,+\infty[$, on a $f'' \geq 0$ donc $f'$ croissante, avec $f'(1) = 0$, donc $f' \geq 0$, et $f$ croissante, avec $f(0) = 0$, et on conclut à $f \geq 0 $ et à l'inégalité voulue.

Rouliane

ah oui merci ! J'ai pas voulu me lancer dans ce type d'études parce que je pensais que y'avait une méthode moins "bourrine", j'aurais du.

RaphaelM

Bonsoir rouliane,

Si je ne me trompe pas, tu travailles en ce moment sur le sujet d'analyse et proba de l'écrit de l'agreg externe de 2003.... moi aussi!

Pour l'inégalité qui te pose pb, j'ai posé:
$$\forall u \geq 1, \quad \theta (u)=K(u)-\frac{1}{2}\big( 1-\frac{1}{u}\big)^2$$
et en dérivant, j'ai obtenu:
$$\forall u \geq 1, \quad \theta '(u)=\frac{(u-1)^2}{u^3}$$
A partir de là, c'est facile de conclure....

Bonne soirée,

Raphael

Rouliane

Oui, Raphael, je bosse effectivement sur ce sujet.
mais je vois pas comment tu peux ne pas avoir de ln en dérivant ...

Rétro

Re:

Vous pouvez remarquer que pour $u\geq 1$ on a:

$$K(u)\geq J(\frac1u)$$

RaphaelM

Rouliane,

Dans l'expression de $\theta (u)$, on a $K(u)=\frac{J(u)}{u}$ donc il ne reste plus que $\ln u$ (et d'autres termes qui sont des puissances de $u$) dans l'expressionde $\theta (u)$...
Du coup, en dérivant, le ln..... disparait!

Bonne soirée,

raphael

Yumeiro Mirai

J'ai pense une autre methode:

Soit 1-(1/u)=x

alors K(u)=-ln(1-x)-x (0=<x<1)

Et on sait que ln(1-x)=-(x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+...)

Donc,

K(u)-(1/2)*(1-1/u)^2

=-ln(1-x)-x-(1/2)*x^2

=(x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+...)-x-(1/2)*x^2

=x^3/3+x^4/4+...>=0 (0=<x<1)

Cordialement.


(I don't know how to use latex)

Rouliane

Merci Yumeiro Mirai

Sinon, je suis en train de faire l'écrit d'analyse de 2003, je le trouve très accessible quand même par rapport à certains sujets ! ::o
Je ne dis pas que c'est facile, loin de là, mais j'ai vraiment pas un bon niveau et j'arrive à m'en sortir à peu près

Autant certains sujets, je ne comprends rien, mais là, j'ai l'impression qu'un élève de prépa peut largement se débrouiller dessus, non ?

Etrange ces différences de niveau entre les sujets, y'a des épreuves pour lesquelles j'arrive à peine à répondre à 2 questions

bs

Bonjour isen-brest,

Pour quelle raison n'avais-tu pas indiqué de suite la référence de cet exercice, ça peut alors certainement intéresser beaucoup plus de monde .
Bonne continuation.
Amicalement.

Rouliane

J'y ai pas pensé, désolé, je le ferai la prochaine fois ...

Rétro

Il est bien évident que compte-tenu de l'enchaînement des questions, ce qui était attendu est la remarque que j'ai déjà donnée mais qu'apparemment personne n'a lue (ou comprise?): pour $u\geq 1$ on a:

$$K(u)\geq J(\frac1u)$$
ce qui réduit la question à une simple trivialité.

Rouliane

Personnellement, j'ai pas compris d'où ça vient, si tu pouvais donner un petit indice ça serait sympa

Rétro

Ca vient que l'on remarque qu'entre la première et la deuxième inégalité il suffit de changer u en 1/u, et que cela donne le résultat si K(u) est supérieur ou égal à J(1/u), c'est à dire $J(u)\geq uJ(1/u)$ ce qui revient à vérifier (pour $u\geq 1$):
$$\ln(u)-2\frac{u-1}{u+1}\geq 0$$

une simple étude de fonction niveau terminale suffit à conclure.

Je ne dis pas que c'est beaucoup plus simple que ce qui a été déjà proposé, mais c'est plus dans l'esprit de l'énoncé me semble-t-il.

Rouliane

Oui, effectivement, c'est plus dans l'esprit.
Mais je pensais que tu le déduisais plus rapidement que par une étude de fonction.
Merci en tout cas.