Dérivabilité sous le signe intégrale

gb

Le maximum n'a aucune raison d'être atteint en la même valeur $x_0$ pour tout $t$.

Si je considère $F(x,t) = xte^{-xt}$, pour $x$ et $t$ positifs :
Pour tout $x \geq 0$, $t \mapsto F(x,t)$ est intégrable sur $[0,+\infty[$
Pour tout $t \geq 0$, $x \mapsto F(x,t)$ est bornée sur $[0,+\infty$, par 0 si $t=0$, par $e^{-1}$ atteint en $x = \frac{1}{t}$ si $t>0$.
La fonctions $M_0(t) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \textrm{\ si\ } t = 0 \\ e^{-1} & \textrm{\ si\ } t > 0 \end{array}\right.$ ne me paraît pas intégrable sur $[0,+\infty[$.

bisam

Bon, d'accord, cette fois, j'admets que j'ai tort de m'acharner !

Aleg

Cet "acharnement" (tout à fait louable, bisam) me conforte dans l'idée que j'avais exprimée dès le départ : erreur de ré-édition.
En général, les auteurs n'aiment pas trop ce genre de travail qui consiste à tailler à la serpe pour faire rentrer le contenu dans les limites du nouveau programme. Il ne serait donc pas étonnant qu'un coup de ciseau malencontreux soit à l'origine de ce fil.

Mathieu

Oui mais dans ce cas on pourrait trouver un contre-exemple. Mais en exhiber un me semble difficile:il faudrait trouver une fonction telles que certaines dérivées ne vérifient pas l' hypothèse de domination, mais au moins une après si.

jean

Bonsoir, voici une nouvelle idée pour la démonstration. On pose $G(x)=\int_I \frac{\partial^n F}{\partial x^n}(t,x)dt$. On note $S$ (comme somme) l'opérateur qui à une fonction associe son intégrale de $0$ à $x$ (c-a-d sa primitive qui s'annule en $0$). On applique le thm à $S(G)$ (qui, si $x$ varie dans un compact contenant $0$, vérifie l'hypothèse de domination). On en déduit que
$$S(G)=\int_I S\bigg(\frac{\partial^n F}{\partial x^n}(t,\,\cdot\,)\bigg)(x)dt$$
On peut itérer le raisonnement pour trouver
$$S^n(G)=\int_I S^n\bigg(\frac{\partial^n F}{\partial x^n}(t,\,\cdot\,)\bigg)(x)dt$$
Pour montrer qu'on peut dériver $n$ fois $f$ sous le signe intégrale, il reste donc à montrer que
$f-S^n(G)$ est un polynôme de degré $\le n-1$. Or, d'après la formule de Taylor avec reste intégral (bien que l'expression du reste ne soit pas la même que d'habitude), on a:
$$F(t,x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\partial^kF}{\partial x^k}(t,0)\frac{x^k}{k!}
+S^n\bigg(\frac{\partial^n F}{\partial x^n}(t,\,\cdot\,)\bigg)(x)$$
Finalement,
$$f(x)-S^n(G)(x)=\int_I\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\partial^kF}{\partial x^k}(t,0)\frac{x^k}{k!}dt$$
Il reste à prouver qu'on peut intervertir la somme finie et l'intégrale, mais comme il s'agit d'un polynôme en $x$ (sous l'intégrale), il y a de bons espoirs pour qu'on puisse le faire, non ?

Mathieu

Le mystere demeure donc.

Pour intervertir la somme et l' intégrale, il faudrait justifier que chaque dérivée partielle est intégrable sur $I$

jean

Non, le mystère est résolu : Posons $[\D_h f](x)=f(x+h)-f(x)$. Une application $f$ est un polynôme de degré $<n$ si et seulement si $D_h^{\circ n}f=0$. Or, $D_h^{\circ n}$ (par rapport à $x$) commute avec l'intégrale (par rapport à $t$), sans aucune condition. On a donc :
$$D_h^{\circ n}[f-S^n(G)]=0$$

Mathieu

J'imprime ça et je vais l'étudier à tête reposée