"Différent" d'un corps

Eric Chopin

Bonsoir,

Je viens de tomber sur la notion de "different" d'un corps de nombre (traduction
litterale) et je me demandais si en fait la notion n'aurait pas de nos
jours un autre nom...

La def c'est si F est une extension de K, I un ideal de $O_F$
alors $I^*$ est l'ensemble des x de F tels que $tr(xI) \subset O_K$,
et $(I^*)^{-1}$ est l'ensemble des x de F tels que $xI^* \subset O_F$.
Ce dernier est le "différent" de I ($D_{F/K}(I)$), et si $I=O_F$
on l'appelle simplement le different de K sur F, et le différent absolu de
F si $K=Q$, (différent absolu local si $K=Q_p$).

Plus d'infos sur l'objet en question serait le bienvenu.

Merci d'avance,

eric

Toto.le.zero

borde ? B-)-

chris26

La différente.

borde

Oui, c'est ce que dit Chris, il s'agit de la {\it différente} (excuse-moi pour ce retard).

Puisque j'ai la main, voici un résumé que je m'étais fait dans ma préparation DEA (pour simplifier, je reste avec des extensions absolues $\K / \Q$, mais on peut transposer sans problème pour le cas relatif $\mathbb {L} / \K$) :

Soit donc dans la suite $\K = \Q(\theta)$ un corps de nombres.

{\bf Déf}.

(i) La {\bf codifférente} est l'idéal fractionnaire, noté $\mbox {Cod}_{\K/\Q}$, défini par : $$\mbox {Cod}_{\K/\Q} = \{ x \in \K \, / \, \forall a \in \Z_{\K}, \, \mbox {Tr}(ax) \in \Z \}.$$

(ii) La {\bf différente} est l'idéal {\bf entier}, noté $\mathfrak{D}_{\K/\Q}$, défini par : $$\mathfrak{D}_{\K/\Q} = \left ( Cod}_{\K/\Q} \right )^{-1}.$$

Comme toujours, je note $\Z_{\K}$ l'anneau des entiers de $\K$ est $\mbox {Tr}$ désigne la trace.

Les propriétés :

{\bf Th}.

(i) Si $P(X)$ est le polynôme minimal de $\theta$, alors : $$\mathfrak{D}_{\K/\Q} = \left ( P'(\alpha) \right )_{\alpha \in \Z_{\K}}.$$

(ii) Si $\Z_{\K} = \Z[\theta]$ (ce qui n'est pas toujours le cas, rappelons-le), alors la différente est l'idéal principal engendré par $P'(\theta)$.

(iii) Soit $p$ un nombre premier, et $\mathfrak {p}$ un idéal premier au-dessus de $p$. On note $e = e(\mathfrak{p}/p)$ son indice de ramification. Alors $\mathfrak {p}^{e-1} \mid \mathfrak{D}_{\K/\Q}$. De plus, on a : $$\mathfrak{p}^e \mid \mathfrak{D}_{\K/\Q} \Longleftrightarrow p \mid e.$$

(iv) Enfin, on a : $$\left | d_{\K} \right | = \mathcal {N} \left ( \mathfrak{D}_{\K/\Q} \right ).$$

Autrement dit, les idéaux premiers ramifiés de $\Z_{\K}$ sont ceux qui divisent la différente.

Borde (j'ai oublié de cocher la fameuse case...).

rémi

Note olivier que tu peux modifier ton message directement dans l'ancien au lieu de reposter ton message, il suffit d'utiliser la fonction "modifier l'envoi" situé au bas du message.

Rémi.

borde

Salut Rémi,

Oui, c'est ce que je viens de faire, mais je n'arrive pas à mettre mes "d" en fraktur malgré mes tentatives avec la commande mathfrak.

Borde.

borde

Bon : Eric, malgré toutes mes tentatives, les "d" de la différente ne veulent pas se mettre en style "fraktur". Il ne faut donc pas confondre la différente, qui est notée ici $d_{\K/\Q}$ avec le discriminant du corps qui est noté ici $d_{\K}$ (sinon, tu risques de ne rien n'y comprendre...).

Excuse-moi pour cette confusion !

Borde.

rémi

Salut,

J'ai dit cela car dans ton premier message tu n'avais pas coché la case (comme tu l'as remarqué ensuite) mais tu pouvais renvoyer directement ce même message en cochant la case et en utilisant modifier l'envoi.
Tes d semblent bien passer chez moi. Il en manque un à la fin mais tu auras peut-être déjà corrigé quand j'aurai envoyé ce message.

Rémi.

borde

Les "d" sont en fraktur chez toi ?

Moi, je les vois comme des petits "d" normaux...

Quésako ?

Borde.

PS. Tu as raison, la première fois, j'avais oublié d'utiliser la touche "modifier l'envoi" !

Eric Chopin

Super Borde,

Merci pour tes explications ! J'ai trouvé cette notion en potassant la formule d'inversion de Fourier sur un corps local, j'avais skippé un peu les
détails techniques mais je souhaitais quand même approfondir un peu.

a+
eric

borde

De rien, Eric, je reste évidemment à ta disposition...Le retard pour la réponse s'explique en partie par le fait que nous sommes ici en plein bac blanc (nous = Longjing et moi...), ce qui fait que je suis un peu moins dispo ici en ce moment !

Borde.