Intégrale - fonction de Stieljes

Mathieu

Bonjour,

Je me demande comment peut on calculer une intégrale du type ci dessous:

$\displaystyle{ \int_A f dm}$ où $m$ est une mesure définie par $m(]a,b]) = F(b) - F(a)$ où $F$ croissante et continue à droite.
S' il y a pas de méthode dans le cas général, je préciserai ma question

Aussi, j' aimerai savoir, si on veut montrer pour toute fonction $f$ $\displaystyle{ \int_A f dm = \int_A f d\mu}$ une condition necessaire et suffisante pour avoir cette égalité est que $m = \mu$ sur la tribu engendrée par $A$ ?

Merci

ptitloupfouchou

Pour la première en espérant ne pas me tromper mais si ta F est assez régulière tu peux espérer calculer la fonction inverse généralisée de F et alors il ne suffit plus que d'intégrer f°(F^(-1)) par rapport à la mesure de Lebesgue (ps : F doit tendre vers 0 en moins l'infini )

Pour la seconde : si tu as une mesure mu qui est sur une tribu A et que tu prends une sous tribu B de A tu as le résultat comme quoi si f est B-mesurable alors l'intégrale de f (avec mu comme mesure) ne dépend que de mu restreinte à B... Normalement ça répond à la question (quoi, à celle que je pense que tu voulais poser parce que sinon elle est mal formulée je pense)

Mathieu

Pour la 1ere question tu veux dire utiliser le théorème de transfert ?

La 2eme question était:
Une CNS pour avoir:
$\forall f$ mesurable, [ $f$ intégrable par rapport à $m$ sur $A$ si et seulement si $f$ et intégralbe par rapport à $m$ sur $A$ ] ET [$\displaystyle{ \int_A f dm = \int_A f d\mu}$}

Est que $\mu$ = $m$ sur la tribu engendrée par $A$

Donc si je comprend ce que tu dis, la réponse à la deuxieme question est oui