Produit de convolution

Rouliane

Bonsoir,

J'aurais besoin d'un peu d'aide pour démarrer sur cet exo :

Soit $f_{\sigma}(x) =\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2 }}$

On me demande de montrer que $f_{\sigma}$*$f_{\tau}$=$f_{\sqrt{\sigma^2+\tau^2}}$ ( le * est le produit de convolution.)

J'ai écrit que $f_{\sigma}(x)$*$f_{\tau}(x)$ =$\int_{-\infty}^{+\infty } \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2 }}\frac{1}{\tau \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{u^2}{2\tau^2 }}du$.

Je ne vois pas comment faire ensuite. Je pense qu'il faut faire un changement de variable, mais je ne vois pas lequel.
J'ai juste remarqué que la fonction f estpaire donc que le produit de convolution l'est aussi, et on peut donc étudier pour x positif.

Merci d'avance,

egoroff

Salut Rouliane,

Très facile mais un peu fastidieux : tu commences par réunir les deux exponentielles, tu mets le trinôme qui est dans l'exponentielle sous forme canonique, tu fais un changement de variable pour te ramener à une intégrale de Gauss bien connue. Désolé je n'ai pas le temps de plus détailler là mais lance-toi et tu verras ça marche !

egoroff

Bon allez on se retrousse les manches... On note $\gamma^2=\sigma^2+\tau^2$
\begin{align*}

\displaystyle f_{\sigma} \star f_{\tau} (x) & = \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left( -\frac{(x-t)^2}{2 \sigma^2} \right)\frac{1}{\tau \sqrt{2 \pi}} \exp \left( -\frac{t^2}{2 \tau^2} \right) \, \mathrm dt \\

& = \displaystyle \frac{1}{2 \pi \sigma \tau} \int_{\R} \exp \left( -\frac{ \tau^2(x^2-2tx+t^2)+\sigma^2t^2}{2 \sigma^2 \tau^2} \right) \, \mathrm dt \\

& = \displaystyle \frac{1}{2 \pi \sigma \tau} \int_{\R} \exp \left( -\frac{\gamma^2 t^2 - 2 \tau^2 tx + \tau^2 x^2}{2 \sigma^2 \tau^2} \right) \, \mathrm dt \\

& = \displaystyle \frac{1}{2 \pi \sigma \tau} \int_{\R} \exp \left(
-\frac{\gamma^2}{2 \sigma^2 \tau^2} \left( t^2-2\frac{\tau^2 x}{\gamma^2}t + \frac{\tau^2 x^2}{\gamma^2} \right) \right) \, \mathrm dt \\

& = \displaystyle \frac{1}{2 \pi \sigma \tau} \int_{\R} \exp \left(
-\frac{\gamma^2}{2 \sigma^2 \tau^2} \left( \left( t-\frac{\tau^2 x}{\gamma^2} \right)^2 - \frac{\tau^4 x^2}{\gamma^4} + \frac{\tau^2 x^2}{\gamma^2} \right) \right) \, \mathrm dt \\

& = \displaystyle \frac{1}{2 \pi \sigma \tau} \int_{\R} \exp \left(
-\frac{\gamma^2}{2 \sigma^2 \tau^2} \left( \left( t-\frac{\tau^2 x}{\gamma^2} \right)^2 - \frac{\tau^4 x^2}{\gamma^4} + \frac{\tau^2 x^2}{\gamma^2} \right) \right) \, \mathrm dt \\

& = \displaystyle \frac{1}{2 \pi \sigma \tau} \int_{\R}
\exp \left(
-\frac{\gamma^2}{2 \sigma^2 \tau^2} \left( t-\frac{\tau^2 x}{\gamma^2} \right)^2 \right)
\exp \left(
-\frac{\gamma^2}{2 \sigma^2 \tau^2} \left( - \frac{\tau^4 x^2}{\gamma^4} + \frac{\tau^2 x^2}{\gamma^2} \right) \right) \, \mathrm dt \\

& = \displaystyle \frac{1}{2 \pi \sigma \tau} \exp \left(
-\frac{\gamma^2}{2 \sigma^2 \tau^2} \frac{\gamma^2 \tau^2 x^2 - \tau^4 x^2}{\gamma^4} \right)
\int_{\R} \exp \left(
-\frac{\gamma^2}{2 \sigma^2 \tau^2} \left( t-\frac{\tau^2 x}{\gamma^2} \right)^2 \right) \, \mathrm dt
\end{align*}
On reconnaît une intégrale qui vaut notoirement $\dfrac{\sigma \tau}{\gamma} \sqrt{2 \pi}$ et le terme en exponentielle se simplifie et magie magie ! Je te laisse finir car j'en ai marre de taper du LaTeX mais il n'y a plus que des simplifications qui se font à vue.


[Egoroff, c'est plus joli avec l'environnement {\it align*} qu'avec {\it array} AD]
[Oui l'espacement des lignes est bien plus harmonieux ; merci Alain ! eg.]
[PS : je viens de voir que tu avais du même coup rectifié les d des dt ! trop fort ! eg.]
[ AD]

Rouliane

Merci beaucoup !!!

Je n'ai pas tout lu pour ne pas être influencé dans mon calcul, mais je vais faire ça cette nuit ou demain si je suis trop crevé

egoroff

Content si ça peut t'aider, sans inluencer ton calcul je peux te dire que l'esprit est de faire apparaître un terme du style $(t-m)^2/2a^2$ dont on connaît l'intégrale, et comme par hasard le reste va être de la forme $x^2/2b^2$, et les constantes s'arrangent bien (d'ailleurs à partir du moment où on a identifié $b$ on sait que les constantes vont bien tomber puisqu'en qualité de convolée de deux densités de proba, notre fonction est une densité de proba).

Bon courage et ne te couche pas trop tard !

elie6

Tu pourrais peut etre utiliser la transformée de Fourier...

elie

Rouliane

Merci beaucoup Egoroff, j'ai réussi à le refaire, et je n'aurais jamais pensé à utiliser la forme canonique, ça marche tout seul après, même si les calculs sont longs

C'est un peu loin la transformée de Fourier pour moi Elie, mais merci de l'indication, je vais essayer de voir ( à part le fait que la transformée de Fourier d'un produit de convolution est le produit des transformées de Fourier, je ne me rappelle plus de rien )

egoroff

Je t'en prie Rouliane, comme je te le disais ce n'est pas hyper compliqué conceptuellement mais surtout très calculatoire 8-)

Utiliser la transformée de Fourier comme le suggère élie est certainement une bonne idée, puisque comme tu le dis elle transforme la convolution en multiplication ; il faut quand même connaître (ou savoir calculer) la TF d'une densité $\mathcal{N}(\mu,\sigma)$.. rappel : ça donne $\varphi(t)=\exp \left(imt-\sigma^2 t^2/2)$ (attention, il s'agit de la version probabiliste de la TF, à savoir $\varphi(t)=\int_{\R} e^{itx}f(x)\, dx$).

Rouliane

D'accord, merci, je me pencherais là dessus un de ces 4 ( ou si je revois un jour la transformée de Fourier )

Sinon, ça sert à quoi la convolution ?
J'ai de vagues souvenirs d'avoir utilisé ça en traitement du signal je crois, et aussi dans un cours sur les distributions, je me trompe ?

egoroff

En maths "pures" pour commencer, ça sert à "lisser" des fonctions, plus rigoureusement, à approcher des fonctions par des fonctions plus lisses en les convolants avec des "approximations de l'unité", par exemple on s'en sert pour montrer la densité des fonctions continues, ou $C^{\infty}$, dans les $L^p$ ($1 \leq p < \infty$) : en effet la convolée de deux fonctions hérite de la "somme" de leurs régularités respectives !

En proba ça sert pour calculer la densité d'une somme de v.a. indépendantes, comme ici pour les lois normales centrées.

En traitement du signal effectivement ça sert, par exemple pour flouter une image parce la convolution avec une unité approchée (un petite bosse de masse 1) remplace une valeur ponctuelle d'une fonction par une moyenne des valeurs autour du point. On convolant avec des fonctions plus exotiques on peut obtenir d'autres types de filtres.

En théorie des distributions on s'en sert via Fourier avec les "solutions fondamentales" (je ne suis pas sûr du nom), exemple simple, on a une équa diff linéaire à coeffs constants $\sum_{k=0}^n a_n y^{(n)}=f$, on l'écrit $P(\partial)y=f$ où $P$ est le polynôme $P=\sum_{k=0}^n a_n X^n$, on passe en Fourier ça donne (aux constantes près) $P(it)\times \widehat{y}=\widehat{f}~$, soit $P(it)\times \widehat{y}/ \widehat{f}=1$, et $1$ est la TF d'un Dirac $\delta$, ça nous donne envie de chercher une solution fondamentale $E$, i.e. une distribution $E$ telle que $P(\partial)E=\delta$, et après on aura $y=f \star E$ (j'espère que je ne raconte pas trop n'importe quoi et que c'est à peu près compréhensible).

Et j'en oublie surement.

shadow1

bon, pour fêter la fin des probas (ça y est, passé l'exam ), je vais tenter une solution probabiliste (ptitloup, si tu me lis ... ):

On se donne 2 variables aléatoires $X,Y$ indépendantes de lois $\mathcal{N}(0, \sigma ^2 )$ et $\mathcal{N}(0, \tau ^2)$ (donc de densité $f_{\sigma}$ et $f_{\tau}$ ). Leur somme est une v.a de loi $\mathcal{N}(0,\sigma ^2 + \tau ^2 )$ (utiliser l'indépendance et passer par les fonctions caractéristiques). Or la densité de $X+Y$ est, du fait de l'indépendance, le produit de convolution des densités, d'où le résultat ...

ça marche ? :S

shadow (toujours aussi à l'aise en probas .. mais qui s'en fout parce que c'est finiiiii (:P) )

egoroff

Salut shadow,

Comment prouves-tu que ta somme suit une loi normale ?

Rouliane

Merci Egoroff pour toutes ces précisions

shadow1

salut egoroff

$X$ et $Y$ sont indépendantes, donc la fonction caractéristique de $X+Y$ est le produit des fonctions caractéristiques, d'où
$\displaystyle{ \phi_{X+Y} (t) = e^{- \sigma^2 t^2 / 2} e^{ - \tau^2 t^2 / 2 } = e^{ -(\sigma^2 + \tau^2)t^2/2 } }$
En utilisant l'injectivité (i.e la fonction caractéristique caractéise la loi), on a donc bien que $X+Y$ suit une loi $\mathcal{N}(0, \sigma^2 + \tau^2 )$

ceci dit, la démo de l'injectivité est bien plus lourde que le calcul direct que tu as donné. Mais bon, dans la mesure où je suppose que cet exo a été donné en probas, autant utiliser les propriétés qu'on a démontré avant ...

shadow