histoire des variétés
Bonjour
Je me demandais comment Riemann ou Grassman avaient défini une variété dans leurs travaux et de quand (et de qui si possible) date la définition "moderne" de variété (une n-variété, est un espace topologique séparé, localement homéomorphe à un espace vectoriel réel de dimension n). Par ailleurs, j'aimerais aussi savoir de quand date et qui a formulé la définition en tant que recollement d'ouverts d'espaces vectoriels.
Merci de vos réponses.
Je me demandais comment Riemann ou Grassman avaient défini une variété dans leurs travaux et de quand (et de qui si possible) date la définition "moderne" de variété (une n-variété, est un espace topologique séparé, localement homéomorphe à un espace vectoriel réel de dimension n). Par ailleurs, j'aimerais aussi savoir de quand date et qui a formulé la définition en tant que recollement d'ouverts d'espaces vectoriels.
Merci de vos réponses.
Réponses
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La définition la plus générale de variété (avec la notion de schéma etc..., qui englobe entre autre la notion de variété différentielle classique) date de Grothendieck, c'est-à-dire les années 50, 60.
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La notion de schéma englobe la notion de variété algébrique, pas de variété différentielle.
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Guego: se donner une variété différentielle (lisse par exemple), en gros c'est se donner un espace topologique ainsi qu'un faisceau de fonctions continues à valeurs réelles qui seront les fonctions Coo sur cet espace.
La notion de schéma englobe bien la notion de variété différentielle.
C'est fait dans le Shafarevich, mais je peux pas le consulter pour le moment, il faudra attendre la semaine prochaine si vous voulez plus de renseignements. -
très interessant, j'ai découvert une vielle définition de "manifold"(variété)
dans le "vorlesungen"(1895-1902) de Schroder ainsi que dans le traité d'algèbre
universelle de Whitehead(1898), une variété y est défini comme ensemble d'objets
dans différents modes(je ne sais pas ce qui est entendu par mode mais chaque mode séparé respectant la propriété est appelé élément)respectant une propriété donnée. Cette définition de variété est donnée dans le cadre de l'algèbre de la logique par Whitehead en disant qu'il reprend à peu près la définition de Riemann et je ne suis point sûr qu'elle soit à la base d'une définition "acceptable" de variété. Si vous avez une idée comment cette définition pourrait amener à une définition plus classique de variété, cela m'interesserait.
Merci -
Bonjour.
Mes souvenirs de lectures historiques ou philosophiques sur les maths de la fin du XIX-ième et le début du XX-ième siècle me font penser que certains mots se sont spécialisés, et que le mot variété est de ceux-là.
Par contre, je crains : "d'une définition acceptable de variété", qui pourrait vouloir dire qu'il y a une définition parfaite (irréfutable ? inconditionnelle ? sacrée ?) d'un mot (attention, il est nécessaire de définir clairement le sens des mots, mais on peut les changer. Toi-même tu utilises manifold à la place de variété:))
Je verrai si je retrouve quelque chose.
Cordialement -
toto : ce que tu dis, c'est que la notion d'espace annelé englobe celle de variété diff.
Un schéma, c'est par définition un espace annelé qui localement ressemble à Spec(A), c'est donc assez différent d'une variété différentielle, et pas seulement au niveau topologique (bien que cet aspect soit déjà assez flagrant). Rien qu'au niveau ensembliste, il y a une grande différence. Par exemple un schéma n'est pas une variété diff, ni le contraire. Par contre, tu peux associer à certaines variétés un schéma de façon naturelle, et inversement.
A force de cotoyer par exemple des variétés complexes et de lire dans des bouquins que moralement les schémas c'est pas très différent modulo les singularités, on finit par croire que les schémas c'est tout simple. Mais un schéma c'est beaucoup plus compliqué que les espaces annelés auxquels on est habitué en géodiff ! -
Sinon, la définition des variétés avec les faisceaux tient déjà pas mal la route, les faisceaux ça date des années 40 en gros, ça a été inventé par Leray.
Après, on doit pouvoir trouver une définition mieux à coups de foncteurs. Mais bon, dans cette catégorie, on a les notions de schéma ou de champ qui sont mieux. La catégorie des schémas a quand même quelques défauts. Par exemple, ça passe pas parfaitement au quotient (infiniment mieux que les variétés mais il reste des petits problèmes parfois). Avec les champs, que je sache, la situation est presque parfaite. -
D'accord avec toi nongen, j'ai employé à tort le mot schéma à la place d'espace annelé.
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À ma connaissance, la définition "moderne" de variété différentiable (celle en termes de cartes, que les géomètres différentiels utilisent toujours aujourd'hui) a été donnée par Hassler Whitney (Differentiable Manifolds, Annals of Math. 37 (1936), 645-680).
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