sous-groupes de Sylow de S3

RaphaelM

Bonjour à tous,

Je cherche à déterminer les sous-groupes de Sylow de $\frak{S}_3$ et j'ai une petite question:

Etant donné que le cardinal de $\frak{S}_3$ est égal à 6 et que $6=3 \times 2$, si je trouve par exemple un sous-groupe d'ordre 2 de $\frak{S}_3$, sera-t-il forcément un sous-groupe de Sylow?

Merci d'avance de votre collaboration et bonne soirée !

Raphael

Coincoin0

Je pense que oui dans ton cas : les 2 Sylow sont de cardinal 2 ... donc un sous-groupe d'ordre 2 est en particulier un 2 Sylow.

Coincoin

gb0

Pourrais-tu me rappeler la définition d'un sous-groupe de Sylow ?

jobherzt

De mémoire, si $G$ est de cardinal $n$, $p$ un diviseur de $n$ et $k$ le plus grand entier tel que : $$
p^k \mid n \mathrm{\qquad et \qquad } p^{k+1} \nmid n
$$ alors les $p$-sous-groupes de Sylow sont exactement les sous-groupes de cardinal $p^k$

[edit] dire que $k$ est "le plus grand" entier est un peu redondant avec la suite, on peut opter pour l'un ou l'autre.

gb0

J'aurais préféré que la définition vienne de RaphaelM lui-même, puisqu'il a initialisé ce fil.

Un sous-groupe de Sylow est caractérisé uniquement par son cardinal. Dans $\frak{S}_3$, de cardinal 6, on a donc
les 2-sous-groupes de Sylow qui sont les sous-groupes de cardinal 2,
les 3 sous-groupes de Sylow qui sont les sous-groupes de cardinal 3

De même dans $\frak{S}_5$, de cardinal $120 = 2^3.3.5$, on a
les 2-sous-groupes de Sylow qui sont les sous-groupes de cardinal 8,
les 3-sous-groupes de Sylow qui sont les sous-groupes de cardinal 3,
les 5-sous-groupes de Sylow qui sont les sous-groupes de cardinal 5.

[Ne pas oublier de cocher la case LaTeX AD]

Alain Debreil

Bonsoir Raphaël

Pour compléter ce qu'ont dit Jobherzt et Gb, les théorèmes de Sylow affirment qu'un tel p-sous-groupe d'ordre $p^k$ existe toujours, et que tous les p-sous-groupes de Sylow, d'ordre $p^k$ donc, sont conjugués entre eux. En particulier ils sont tous isomorphes.

Alain

RaphaelM

Désolé gb, je ne peux me connecter à internet que pendant la journée, c'est pour ça que je n'ai pu répondre à votre requete...
en tout cas, merci à tous pour vos informations!

Raphael