valeurs d'adhérence d'une suite

pat4

Bonjour les amis,
On vient de me poser la question suivante : l'ensemble des valeurs d'adherence de la suite
$$(\vert \cos(n)\vert^n )_n$$
est-il égal à l'intervalle $[0,1]$ ?
J'ai regarde hier soir si $1/2$ pouvait etre valuer d'adherence, sans succes... quelqu'un est-il inspiré ?!!

bs1

Bonjour,

pour tout n>0 , lcos(n)l < 1.

pat4

Oui mais il n'y a pas de contre indication : (1-1/n) est plus petit que 1, mais à la puissance n ça tend vers e^{-1}...

bs1

Si un expert pouvait passer ...
Merci.

pat4

je n'ai pas trop cherche mais pour le moment ca ne donne rien, imaginons qu'une sous-suite tende vers 1/2 : on a un equivalent pour cette sous suite. En regardant le tres sympathique article de guy philippe "comportement asymptotique des petites valeurs de $\vert \sin(n)\vert$" dans quadrature surement, on trouve par exemple la remarquable limite
$$\forall\,s>20,\quad \lim_n\,n^s\vert \cos(n)\vert=+\infty$$
qui ne remet pas en cause l'equivalent precedent....
a suivre.....

Guy PHILIPPE

Bonjour Pat,
La réponse est oui et la preuve sera donnée bientôt je l'espère dans Quadrature dans un article d'Emmanuel Moreau qui donne une preuve directe en construisant pour tout réel a de [01] une suite extraite qui converge vers a en utilisant le DFC de pi