idéaux

Bonjour,

Je travaile sur la leçon intitulée:
Exemples d'applications des idéaux d'un anneau commutatif.
J'ai quelques questions :

Je ne sais pas s'il faut parler de la racine d'un idéal, car j'ai lu ds plusieurs bouquins la défintion et qq propriétés, mais je ne sais pas à quoi ça sert concrètement, et vu que le titre de la leçon est "Exempels d'applications..", j'ai peur que ça fasse hors sujet d'en parler sans en connaitre l'utilité.

En fait, ma première partie est constituée de rappels (sur les idéaux premiers,anneaux prinicpaux,idéaux maximaux), la deuxième sur les applications en arithmétique (notion de pgcd et ppcm ; Bezout; th. des 2 carrés), la 3ème partie sur les applications en théorie des corps et polynômes (avec à la fin une partie sur les codes correcteurs) , une partie sur le lemme chinois puis une sur l'algèbre linéaire.

Est-ce qu'il est indispensable de parler des anneaux noethriens ds cette leçon et des anneaux de Dedekind ? Comme je ne connais pas ces notions, je pensais ne pas en parler du tout, mais j'ai peur que ce soit un oubli trop important.
Je ne sais pas si c'est essentiel à la leçon.
Je pense baser ma leçon sur la décomposition en irréductible et expliquer qu'être premier et irréductible sont deux notions à ne pas confondre.
Avez-vous des idées sur ce sujet ?

Séverine

Réponses

  • Il est indispensable de ne jamais parler de ce qu'on ne connaît pas ou de ce qu'on maîtrise très mal.

    Bien sûr, si tu as l'occasion de te familiariser avec les anneaux de Dedekind, il ne faut pas hésiter (c'est en plein dans le sujet), mais je suis sûr à lire tout ce que tu proposes que tu peux faire une leçon tout a fait honorable sans en parler.

    Pour les anneaux noethériens, c'est quand même quelque chose d'important dans le programme, il faudrait donc que tu connaisses au moins la définition et quelques exemples. Mais là encore, si tu ne te sens pas à l'aise, tu n'en parles surtout pas ! Du moment que tu proposes une leçon convainquante, tu n'es pas tenue de savoir plus que les définitions et quelques principaux exemples des notions importantes que tu n'évoques pas. En revanche, à partir du moment où tu mentionnes une notion, tu dois vraiment bien la maîtriser, même si tu ne parles que des résultats élémentaires.

    Définis-tu les anneaux factoriels? Si oui, où ?

    J'ai l'impression que tu as beaucoup de bonnes idées. Un point important est de pouvoir les justifier (par exemple, dans tes applications, distinguer si l'utilisation des idéaux apporte "seulement" un regard éclairant sur des résultats qui ne nécessitent pas forcément d'en parler ou si un lien intrinsèque existe, ou ...). De même, le fil directeur premier <> irréductible est une bonne idée, à condition qu'elle soit justifiée! (par exemple, si je ne m'abuse, ta définition d'irréductible porte sur les éléments de l'anneau et celle de premier sur les idéaux de l'anneau, non ?)



    Juste un avis motivé par mon expérience personnelle, et l'expérience, comme chacun sait, n'est jamais qu'une lanterne qui n'éclaire que le chemin parcouru...
  • Merci bp pr cette réponse.
    Je définis ds ma première partie les anneaux factoriels et prinicipaux.
    Et ds la partie 2 sur l'arithmétique, je pense dire à l'oral quand on doit se placer ds un anneau prinicpal ou ds un anneau factoriel.
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