équation diophantienne

racinedecheveux

bonjour!
J'ai un probleme qui va surement vous paraitre bete, mais je n'ai pas reussi à le finir: voici l'enonce et la reponse (incomplete):
Resoudre dans $\N$:
$(E): 9y^2-(x+1)^2=32$
On a: $32+(x+1)^2 divisible par 9$
donc: $(x+1)^2=4 [9]$
alors: $x=\sqrt(4+9k)-1$ avec $k\in\N$ et on cherche des solutions dans $\N$
on remplace dans $(E)$ on trouve donc:
$y=\sqrt(4+k)$ avec $k\in\N$
finalemment on obtient les solutions:
$(x,y)=(\sqrt(4+9k)-1;\sqrt(4+k))$
comme on veut les solutions dans $\N$ il reste à trouver les couples solutions; c'est là où apparaissent les problemes, il faut trouver $k\in\N$
tel que $4+9k$ et $4+k$ soient simultanemment des carres parfaits;
je sais que les couples solutions sont: $(1,2);(6,3)$ ; mais comme je n'arrive pas à les trouver directement je ne peux en prouver l'unicite.
(on pourrait peut-etre le prouver par l'absurde...)
bref dans tous les cas j'aimerais bien trouver la technique pour determiner k pour que les deux expressions soient simultanement des carres parfaits;
si quelqu'un pouvait m'aider.... merci d'avance!

amicalement

Sylvain

Peut-être faut-il utiliser le fait que 9y²=(3y)² et utiliser l'identité remarquable.

galax1

Bonjour et bonne année,

Personnellement j'utiliserais l'identité remarquable a² - b² et toutes les factorisations en deux termes de 32

Sincèrement,
Galax

racinedecheveux

Bonjour!
Merci pour ces reponses, mais elles ne repondent absolument pas à ma question, je sais qu'on peut utiliser une factorisation pour resoudre le probleme, mais j'aimerais bien trouver la reponse en cherchant les k qui conviennent pour que 4+k et 9k+4 soient simultanement des carres parfaits. C'est ca ma vraie question. Si quelqu'un a une idee...

amicalement
PS: bonne annee à Yalcin, et à toutes les personnes qui animent frequemment ce forum.

Utilisateur anonyme

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racinedecheveux

Bonjour!
Je crains m'être fait mal comprendre, si j'ai donné l'énoncé c'était pour éviter que la question tombe comme un cheveu sur la soupe ; ma question est :

Comment determiner k € N tel que 4+k et 9k+4 soient simultanément des carrés parfaits

Pour les indications que vous avez donné, cela conduit à une autre manière de résoudre le problème.

Amicalement

Sylvain

D'ores et déjà $k=0$ convient, ainsi que $k=5$.
La suite des carrés parfaits supérieurs à $4$ est $9,16,25,36,...=4+5,4+5+7,4+5+7+9,4+5+7+9+11,...$

Donc $\displaystyle{k=\sum_{m=2}^{n}(2m+1)}$ avec $n>1$.

Il reste ensuite à déterminer les $k$ tels que $k=9k'$. Tu peux utiliser le fait qu'une somme de $9$ termes en progression arithmétique est divisible par $9$.
Par ailleurs, si tu prends les $9a+5$ premiers termes, leur somme vaut:

$(9a+5)\times 5+2\times t_{4+9a}=45a+25+(4+9a)(5+9a)=45a+45+9\alpha$, (où $t_n=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$, nombre triangulaire), qui est divisible par $9$.

Je ne pense pas qu'il y ait d'autre solution.

Sylvain

Utilisateur anonyme

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