Baire et dénombrabilité

M M

Bonjour,

Savez-vous s'il existe des parties maigres de $\R$ non dénombrables ?
Leur existence peut-elle être liée à l'axiome du choix ?

Je me posais cette question pour savoir si toute fonction dérivée était Riemann-intégrable, l'ensemble des points de discontinuité de ces fonctions étant respectivement maigre, dénombrable.

Baire n'a-t-il pas lui-même tenté de classifier les fonctions réelles suivant de tels critères ?

Merci d'avance.

corentin

L'ensemble de Cantor est maigre non?
Si tu veux voir des trucs intéressants sur les dérivées, Rudin en parle largement dans un chapitre, mais le cadre d'intégration est celui des mesures.

gb0

L'ensemble triadique de Cantor ?

pat4

oui, la construction est du type Cantor par exemple :
soit $\{a_n\}$ un famile dense dans $[0,1]$
soit
$$O_n(p)=] a_n-2^{-n}p^{-1}, a_n+2^{-n}p^{-1} [$$
et
$$A=[0,1]\cap\bigcap_{p\geq 1} \bigcup_{n\geq 1}O_n(p)$$
c'est un espace de Baire non dénombrable (un espace de baire non vide separe sans points isoles est non denombrable
bonus : il est de mesure de lebesgue nulle....