chaîne arithmétique

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Réponses

  • bonjour watercat,

    Pourrais-tu faire une synthèse à propos de ton problème n° 18 ?

    *****************

    GreginUK,

    c'est à toi nous proposer le problème n°19

    Sincèrement,

    Galax
  • Euuuh, Galax , tu me prends un peu au dépourvu, je ne suis pas un arithméticien, plutôt un algébriste. ;)
    Mais, je vais réléchir pour trouver un joli problème, promis.
    En attendant, continuons à cogiter sur le problème 18...
  • bonjour,

    Voici un autre lien concernant le problème 18

    http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9327(196307)85:3<447:FRHACM>2.0.CO;2-A&amp;size=LARGE

    Malheuresement, il y a que la premiere page qui est disponible... dommage

    Sincèrement,

    Galax
  • J'ai réussi à récuperer le fichier, mon labo ayant accès à JSTOR. Malheureusement, pour des questions de copyright, je ne me sens pas en droit de le mettre en accès libre sur le forum. Ceci dit, cela règle la question des anneaux commutatifs finis ayant un groupe d'unités cycliques.

    Il reste donc à étudier le cas des anneaux infinis...
    Remarquons que l'on s'éloigne légèrement du problème original. La question était non pas de trouver tous les anneaux possédant un groupe d'unités cycliques, mais quelles étaient les valeurs possibles de l'ordre $n$ de ce groupe d'unités lorsqu'il était supposé cyclique...
  • Alors voilà le problème 19:

    {\bf Problème 19:} Soit $x$ un réel tel que $\tan(2\pi x)\in\mathbb{Q}-\{0,1,-1\}$. Montrer que $x$ est irrationnel.
  • Problème 19
    tan(2pix)=sin(2pix)/cos(2pix)
    Bon je remplace x par t (je n'aime pas mettre x en argument des fonctions trigo)
    tan(2pit)=...
    On veut l'intersection du cercle unité (x^2+y^2)=1 avec les droites passant par 0 et de pentes rationnelles
    et là on s'intéresse aux racines de l'unité uniquement car on va supposer t rationnel.
    On cherche des intersections du cercle avec une droite, soit des points de degré 2 (degré de Q(x,y) par rapport à Q) soit en terme de racines de l'unité phi(n)=1, 2 ou 4.
    phi(n)=1 ça fait tan=0, on vire
    phi(n)=2 ça fait l'hexagone avec des tan irrationnelles on vire
    phi(n)=4 bon il y en a 8 mais alors tan=1 ou -1 on vire
    après je ne sais pas pour quelles autres n, phi(n)=4 et j'ai grave la flemme de les chercher mais à mon avis soit il n'y en a pas d'autre et le problème est montré soit il y en a d'autre et alors on verrait que les tan sont irrationelles et le problème serait montré, si elle ne sont pas irrationnelles alors le problème est faux.

    Donc question :
    Quels sont les n tels que phi(n)=4 ?

    P.S : je raisonne à la va vite là, je peux me tromper.
  • j'ai oublie phi(4)=2 et là tan est infini (j'oserais dire que c'est quand même un rationnel et qu'il faudrait en parler dans l'énoncé mais bon étant ce qu'il est on s'en fout)

    Bon je cherche là
    ya phi(5)=4 (ha oui effectivement, je le connaissais celui là)
    ya phi(10)=4
    ya phi(12)=4
    dans ces trois cas tan est irrationnel

    et là ma caltos tourne dans le vide donc je suppose que ce sont les seuls
    si qqn avait une explication simple pour le justifier (ainsi que pour phi(n)=2)
  • Il y a plein de points sur le cercle unité dont les coordonnées sont rationnelles (et donc en particulier qui sont intersection du cercle avec une droite de pente rationnelle): tous les $\frac{a+ib}{a-ib}$ avec $a,b\in\mathbb{Q}$. Pourtant, ce ne sont pas des racines de l'unité...
  • Oui effectivement mais là on recherche des racines de l'unité uniquement vu que j'ai supposé t (anciennement x) rationnel pour aboutir à une contradiction.
  • Galax, ai-je le droit de jouer encore avec vous ? Si oui, voici deux exos niveau TS (bon élève) :

    {\bf Exo 1}. Montrer que, si $p \geqslant 5$ et $11p+4$ sont premiers, alors $11p-4$ est composé.

    {\bf Exo 2}. Soit $3 \leqslant p < q$ deux nombres premiers consécutifs. Montrer que $p+q$ est le produit d'au moins trois facteurs premiers (non nécessairement distincts).

    Borde.
  • bonjour Borde,

    Bien sûr tu as le droit de nous proposer tes problèmes ... alors n'hésite pas

    Sincèrement,

    Galax
  • Bonjour Olivier, bonjour Jan,

    Pour l'exercice 2:
    dans le cas de premiers jumeaux $p$ et $p+2$,
    pour $(3,5)$, $8=2^3$,
    pour tout $5 \leqslant p$, $p+(p+2)$ est divisible par $12=2^2.3$,
    j'essaie de généraliser mais, il y a très longtemps que j'ai quitté la terminale, même si je n'étais pas le plus mauvais élève de la classe :)
  • Salut Bernard,

    Il est vrai que ces exos demandent néanmoins une certaine recherche...Pour l'exo 2, tu peux écrire $\displaystyle {p + q = 2 \times \frac {p+q}{2}}$ et étudie $\displaystyle { \frac {p+q}{2}}$ compte tenu des hypothèses sur $p$ et $q$.

    Borde.
  • Salut les copains,

    l'exo 1 est élémentaire me semble -t-il ..

    en effet si n=3k+e avec e=1 ou -1
    alors (11n+4)(11n-4) est multiple de 3 ...

    je vais jeter un oeil sur le 2..

    Oump.
  • Re

    hum , le 2 est peut etre encore plus simple

    ( à partir de la remarque que la demi somme de deux entiers distincts est strictement compris entre ces deux nombres..

    j'espere olivier que tu as de nombreux eleves sachant resoudre ces exos;)

    Oump.
  • bonjour Olivier, Bernard, Claude

    j'ai une démonstrantion par absurde pour exo 2:

    comme p et q sont impairs p + q

    ( p < q ) est de la forme 2 r,

    on a donc p < r < q .

    r ne peux être un premier car p et q sont sont premiers consécutifs....


    Sincèrement,



    Galax



    PS Olivier, c'est pêut-être une bonne idée, de proposer des problèmes d'un niveau plus élevé ... et parallèlement des Exos de niveau "bon élève de TS". Qu'en pense-tu?
  • bonjour GreginUK,

    Peut- tu nous donner ta démonstration de ton problème 19?

    Problème 19: Soit $ x$ un réel tel que $ \tan(2\pi x)\in\mathbb{Q}-\{0,1,-1\}$. Montrer que $ x$ est irrationnel.

    (Il me semble que ce résultat a été montré par Lambert 1728 _ 1777 en 1768 )

    Sincèrement,

    Galax
  • ok, je fais ca des que j'ai 5minutes. En echange, je demande la reponse pour le Probleme 18 de Watercat , eh ,eh...;)
  • ça faisait longtemps que je n'ai pas été voir ce fil...Grâce à Galax, je viens de lire les messages d'Oumpapah, auquel je présente mes excuses pour ce retard.

    Ces exercices me servent chaque année à introduire les nombres premiers, ou, plus précisément, à détecter ce que les élèves, sans cours ni connaissance particulière, sont capables de faire d'entrée de jeu.

    Après, c'est comme à chaque fois en Maths : pour nous qui sommes habitués, ces exercices ne posent quasiment pas de problème, mais, posé dès le début d'un cours avec des élèves pas encore habitués avec ce type de raisonnement, ils sont rarement traités correctement, mais, en revanche, permettent de bien cibler les facultés de raisonnement des uns et des autres.

    J'ai pensé que ce fil était destiné à un grand nombre d'intervenants, d'où le niveau volontairement tronqué à la Terminale S spécialité. En voilà deux autres. Le premier est du niveau TS spé de nouveau et est un extrait de ce que nous venons de donner au bac blanc dans mon établissement, le 2nd du niveau Master :

    {\bf Exo 20}. Soit $n \geqslant 2$ un entier. Un entier $d$ est appelé {\bf diviseur unitaire} de $n$ si et seulement si $d \mid n$ et $\mbox {pgcd}(d,n/d) = 1$. On note $\tau^{*}(n)$ le nombre de diviseurs unitaires de $n$ (notation traditionnelle). Pour deux entiers $m,n$, on note $\mbox{pgcd}^{*}(m,n)$ le pgcd unitaire de $m$ et $n$.

    1. Quels sont les diviseurs unitaires de $225$ ?
    2. Montrer que $\mbox{pgcd}^{*}(m,n)$ est un diviseur unitaire de $\mbox{pgcd}(m,n)$ (nous avons finalement retiré cette question après déliberation).
    3. Montrer que $\tau^{*}(n) = 2^{\omega(n)}$, où, comme d'habitude, $\omega(n) = \sum_{p \mid n} 1$.

    {\bf Exo 21 : Ordre moyen de la fonction "somme-pgcd"}. On note $\displaystyle {g(n) = \sum_{j=1}^{n} \mbox {pgcd} (n,j)}$. Montrer que, pour $x \rightarrow \infty$, on a : $$\sum_{n \leqslant x} g(n) \sim \frac {x^2 \ln x}{2 \zeta(2)}.$$

    Pour une estimation plus précise, voir \lien {http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL10/Bordelles/bordelles90.pdf} (un peu de pub, au passage).

    Borde.
  • Bonjour,

    Olivier,l'exercice 20 avait fait l'objet de "mon 5000ème message":
    \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,331137,page=1}
  • Bernard : tu as une meilleure mémoire que moi...Exercice à virer, donc !

    Borde.
  • Bonjour à tous,

    c'est trés gentil à vous de mettre à disposition des exercices accessibles à des élèves de Terminale S Spé.

    L'exercice 20 étant déjà corrigé et l'exercice 21 un peu trop dur pour moi j'attend donc le 22 avec impatience.

    Par contre ce qui m'étonne assez c'est que dans mon lycée on n'a pas du tout parlé de diviseurs unitaires ou de $\omega(n)$ et quand je vois que ceci fait l'objet d'un bac blanc ça me fait un peu peur pour la suite...

    Titor
  • Titor,

    Les bacs blancs sont élaborés par l'équipe de mathématiques du lycée même où se déroule ce bac blanc. Lorsqu'une notion ne figure pas explicitement au programme (comme celles que tu cites, par exemple), alors la définition est {\it toujours donnée} dans l'énoncé...ce qui permet aux correcteurs, accessoirement, de voir si un élève de TS spécialité est capable de comprendre une définition donnée, et d'en déduire quelques propriétés.

    En remplacement de l'exercice 20, en voici un plus court (et plus simple, aussi) :

    {\bf Exercice 20 bis}. Résoudre l'équation $x^{19} + 3x \equiv 2 \pmod 7$.

    Un autre, pour alimenter la banque de donnée...

    {\bf Exercice 20 ter} (extrait du bac C 1982, Paris). Soient $a,q \geqslant 1$ entiers. On désigne par $S_q$ l'ensemble des entiers $b \geqslant 1$ tels que $q$ soit le quotient de la division euclidienne de $a$ par $b$. Montrer que : $$\sum_{q=1}^{a} \left | S_q \right | = a$$ (rappelons que $|E|$ désigne le cardinal d'un ensemble fini $E$).

    Borde.
  • Ma réponse pour l'exercice 20 bis : x = 7k + 3 avec k entier

    Il faut que j'affine la démonstration du 20 Ter car j'ai du mal à la rédiger rigoureusement.

    Bonne soirée.

    Titor
  • Réponse pour le 20 bis : $x \equiv 4 \pmod 7$.

    Borde.
  • Oui pardon autant pour moi je me suis trompé en recopiant, c'est bien x = 7k + 4
  • OK...Bien sûr, le petit théorème de Fermat est un ingrédient pouvant entrer en jeu dans cet exercice 20 bis.

    Borde.
  • bonjour Titor,

    Voici un lien vers un recueil d'annales de bac, contenant des exercices d'arithméque

    http://frederic1977.club.fr/annales/arithm.pdf

    J'espère que cela pourra t'être utile.

    Sincèrement,

    Galax
  • Merci Galax, je savais pas que des sujets de bac des années 80 et même avant étaient disponibles sur le net, c'est une trés bonne chose et je t'en remercie!

    Sinon pour l'exercice 20 Ter, je n'arrive pas à rédiger, j'arrive à trouver le résultat "intuitivement" mais aprés je bloque!

    Si quelqu'un peut m'en faire passer une ou juste les grandes lignes, ce serait super.

    Merci d'avance,

    Bonne journée à tous.

    Titor.
  • Bonsoir,

    Un petit coup de dépoussiérage de ce fil initié par notre ami galax, avec un exercice pas bien méchant: Exercice 21
    Trouver tous les triplets de (3) nombres consécutifs, tels qu'en additionnant les six fractions possibles, obtenues à l'aide de ces trois nombres, la somme soit un nombre entier.
    Oui, ma traduction n'est pas bien claire, mais on comprend ce que ça veut dire :)

    Bonne nuit.
  • Après un petit calcul, on trouve que c'est équivalent à $\frac{6}{n(n+2)}$ est entier. Donc une unique solution, le triplet (1,2,3).
  • Bonjour,

    Oui jaybe; origine: Ingenious mathemetical problems and methods - L.A.Graham - Dover. Tu as le droit ( et le devoir ;) ) de proposer l'exercice 22 ?

    Amicalement.
  • Ok, alors je me souviens d'un vieil exercice sur ce forum qui n'avait pas été résolu, qui consistait à trouver les entiers $n$ tels que les éléments du triplet d'entiers $(n,2n,3n)$ ou du triplet d'entiers $(2n,3n,6n)$ peuvent chacun se mettre sous la forme $k (k+1)$, $k$ entier (ça permettait de résoudre une question de Yalcin si mes souvenirs sont bons). Aucune idée de la difficulté exacte, mais je ne crois pas que ce soit trivial...
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