chaîne arithmétique

Bonjour Borde,

Que penses-tu d'un post analogue aux problèmes en série, avec la règle
celui qui résout un problème pose le problème suivant ?
Et je pense que si tu trouves cette idée bonne, il serait normal que ce soit toi qui démarre cette chaîne.

Sincèrement,
Galax
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Réponses

  • Salut Galax,

    Je n'ai pas suivi le fil dont tu parles, mais, puisque tu as eu l'idée de l'adapter à l'arithmétique, je pense que c'est plutôt à toi qu'il revient d'ouvrir le bal.

    Borde.
  • Bonjour Borde,

    Tu me donne une très grande responsabilité!

    Alors je me lance.

    PROBLEME n°1)

    Soit p un nombre premier de la forme 4n + 1 .

    Montrer que

    $ [ \sqrt p ] +[ \sqrt {2p} ] +[ \sqrt {3p} ] +...+ [ \sqrt{( \dfrac {p-1}{4})p }] =\dfrac {p^2 -1}{12}$

    ( [ . ] désigne la partie entière )


    Sincèrement,

    Galax
  • Cet exercice est difficile, on le trouve (par exemple) dans le Polya-Szegö, {\it Problems and theorems in Analysis} II, Springer, exercice 20 page 113. La solution donnée par les auteurs provient d'un article de Bunyakowski, publié aux CRAS de Paris en 1882.

    Il me semble plutôt préférable de donner des exercices plus accessibles, du genre celui-ci :

    Soit $n \geqslant 1$ entier et $d$ un diviseur (positif) de $n$. On dit que $d$ est un diviseur {\bf unitaire} de $n$ si et seulement si $\mbox {pgcd} (d,n/d) = 1$. Montrer que le nombre de diviseurs unitaires de $n$ vaut $2^{\omega(n)}$, où $\omega(n)$ désigne le nombre de facteurs premiers distincts de $n$.

    Maintenant, si des intervenants veulent s'essayer à l'exercice de Galax, et qu'ils en donnent une solution, alors mon message s'auto-détruira dans les 5 secondes qui suivent !

    Borde.
  • Bonjour Borde,
    Tout à fait d'accord avec toi.
    Il est préférable commencer par ton nouveau problème 1) ...et l'autre problème peut rester pour des amateurs éventuels de problèmes pas évidents

    Sincèrement,
    Galax
  • Bonsoir

    Soit $n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$ et $d=p_1^{\beta_1} \cdots p_k^{\beta_k}$, $d$ est un diviseur unitaire de $n$ si et seulement si pour tout $i$, $\beta_i \in \{0, \alpha_i\}$.
    L'ensemble des diviseurs unitaires de $n$ est donc en bijection avec le produit cartésien des $\{ 0, \alpha_i\}$, de cardinal $2^k=2^{\omega(n)}$.

    Pour rester sur la fonction $\omega$ je propose ceci :
    Soit $n \geq 2$, montrer que
    \[ \prod_{p |n } \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \leq 1 - \frac{2^{\omega(n)}-1}{n} \]

    Ciao
  • bonsoir, pour que $d$ et $n/d$ soient premiers entre eux ils faut que leur décomposition ne contiennent pas le même diviseur premier de $n$;
    il s'agit donc de compter le nombre de partitions (!) des facteurs premiers de $n$ en deux partitions, soit $\sum_{i=0}^{\omega(n)} \binom{\omega(n)}{i} = 2^{\omega(n)}$
  • rebonsoir, vu que le premier membre multiplié par n donne l'indicateur d'Euler de rang n et par définition de celui-ci, et vu la signification de $\oméga(n)$, l'inégalité paraît claire:

    $\phi(n) = \{k
  • corrigeons:

    rebonsoir, vu que le premier membre multiplié par n donne l'indicateur d'Euler de rang n et par définition de celui-ci, et vu la signification de $ \omega(n)$, l'inégalité paraît claire:

    $ \phi(n) = \{k
  • recorrigeons:

    corrigeons:

    rebonsoir, vu que le premier membre multiplié par n donne l'indicateur d'Euler de rang n et par définition de celui-ci, et vu la signification de $ \omega(n)$, l'inégalité paraît claire:

    $ \phi(n) = \{k
  • rerebonsoir, (merci à AD pour sa correction de mes messages erronés.   [A ton service :) AD] )

    En fait les copies que je corrige me désespèrent un peu car j'ai commencé par ceux qui sont sortis les premiers au lieu de brasser le paquet...

    Donc puisque ma solution doit (?) être correcte quoique l'exercice eût été notablement moins évident pris isolément (...) , j'en propose un autre :

    Sans calculatrice ni maple ni HP48, déterminer si :
    123456789101112131415161718192021222
    est divisible par 7.
  • Bonjour,

    Voici une solution de dernier problème selon des exigences de Gilles Benson
    J'ai utilisé pour montrer la divisibilité par 7 le critère suivant :
    (cf <http://www.cut-the-knot.org/blue/div7-11-13.shtml>)
    a) Je découpe le nombre donné par tranches de 2 chiffres en commençant à droite
    12 34 56 78 91 01 11 21 31 41 51 61 71 81 92 02 12 22
    b) Je remplace chaque nombre par le reste de division par 7
    5 6 0 1 0 1 4 0 3 6 2 5 1 4 1 2 5 1
    c) Je remplace chaque nombre en position paire (de droite) par son opposé modulo 7 sans toucher aux autres
    2 6 0 1 0 1 3 0 4 6 5 5 6 4 6 2 2 1
    d) Je réécrit le nombre obtenu en ordre inverse
    122646556403101062
    et on réïtère le procédé jusqu'à l'obtention d'un nombre au plus de 2 chiffres

    12 26 46 55 64 03 10 10 62 >>
    5 5 4 6 1 3 3 3 6
    5 2 4 1 1 4 3 4 6
    643411425
    6 43 41 14 25
    6 1 6 0 4
    6 6 6 0 4
    40666
    4 06 66
    4 6 3
    4 1 3
    314
    3 14
    3 0
    4 0
    04

    Comme 4 n'est pas divisible par 7
    le nombre 123456789101112131415161718192021222 ne l'est pas non plus.

    Sincèrement,
    Galax
  • Bonjour à tous,
    <BR>
    <BR>Borde: lors de ton 5000ème message anniversaire, tu avais déjà proposé cet exercice (serais-je le seul à suivre ? :-)
    <BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=331241&t=331137#reply_331241"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=331241&t=331137#reply_331241</a&gt;
    <BR>
    <BR>Autrement , d'accord pour des quickies.<BR>
  • bonjour,

    En ce qui concerne le problème de Guimauve:

    Soit $ n \geq 2$, montrer que

    $\displaystyle \prod_{p \vert n } \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \leq 1 - \frac{2^{\omega(n)}-1}{n} $


    Voici une proposition de solution:

    En multipliant l'inégalité par n on obtient:

    $\displaystyle n \prod_{p \vert n } \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \leq n +1- {2^{\omega(n)}-1] $

    On en déduit ( cf livre de Borde )

    $\displaystyle {phi(n)} \leq n +1- {2^{\omega(n)}-1] $

    qui résoud directement de la définition de la fonction indicatrice d'Euler

    Sincèrement,

    Galax

    PS La fonction aperçu ne marche pas aujourd'hui>>> j'espère que je n'ai pas fait des maladresses concernant le LaTex
  • Bonjour,

    En ce qui concerne le problème de Guimauve:

    Soit $ n \geq 2$, montrer que

    $\displaystyle \prod_{p \vert n } \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \leq 1 - \frac{2^{\omega(n)}-1}{n} $


    Voici une proposition de solution:

    En multipliant l'inégalité par n on obtient:

    $\displaystyle n \prod_{p \vert n } \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \leq n +1- {2^{\omega(n)}-1] $

    On en déduit ( cf livre de Borde )

    $\displaystyle {phi(n)} \leq n +1- {2^{\omega(n)}-1] $

    qui résoud directement de la définition de la fonction indicatrice d'Euler

    Sincèrement,

    Galax

    PS La fonction aperçu ne marche pas aujourd'hui>>> j'espère que je n'ai pas fait des maladresses concernant le LaTex
  • bonjour,

    Je n'arrive pas passer mon nouveaux message en LaTaxavec un nouveau probléme.
    Je tenterai le faire passer ce soir.


    Sincèrement,

    Galax
  • Bonjour,
    Voici un problème que j'arrive écrire sans LaTex

    PROBLEME n°5
    Montrer que : Si p et q = 2^p + p^2 sont premiers, alors R = 5p + 82 l'est aussi.


    Pour pouvoir se retrouver plus facilement je propose numeroter les problèmes
    Sincèrement,
    Galax
  • Bonjour,
    En ce qui concerne le problème de Guimauve :

    Soit $ n \geq 2$, montrer que $$\displaystyle \prod_{p \mid n } \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \leq 1 - \frac{2^{\omega(n)}-1}{n}
    $$ Voici une proposition de solution :
    En multipliant l'inégalité par $n$ on obtient : $$\displaystyle n \prod_{p \mid n } \left( 1 - \frac{1}{p} \right) \leq n +1- 2^{\omega(n)} $$ On en déduit ( cf livre de Borde ) $$ \displaystyle {\varphi(n)} \leq n +1- 2^{\omega(n)} $$ qui résout directement de la définition de la fonction indicatrice d'Euler

    Sincèrement,
    Galax

    PS La fonction aperçu ne marche pas aujourd'hui>>> j'espère que je n'ai pas fait des maladresses concernant le LaTeX

    [Galax : quand tu ouvres \{ il faut fermer avec \} et pas ]. AD]
  • bonsoir Galax, je suis tout à fait impressionné par cette méthode extrèmement rapide et très élégante mais je ne suis pas d'accord avec ta conclusion (voir la ligne finale).
  • Désolé Gilles,

    J’ai fait une étourderie dès le début, mais la technique utilisé est bonne.
    CA fait râler !!! grrr
    Je devrais me relire avant poster !!!

    Sincèrement,
    Galax
  • bonsoir Galax, j'avais une chance sur 7, j'imagine de construire un multiple de 7; le simple fait d'avoir découvert la méthode que tu as utilisé justifie que j'ai posé cette question (même si j'aime bien mon critère de divisibilité par 7); ta méthode est très rapide et on a envie de la coder; toutefois, je pensais au principe suivant l'autre soir (dont je laisse la démonstration de côté):

    si $N$ est écrit avec $6n+6$ chiffres, les cinq derniers chiffres de gauche étant éventuellement nuls, on a si:
    $N = \sum_{i=0}^{n} 10^{6i} \overline{a_{i,5}a_{i,4}a_{i,3}a_{i,2}a_{i,1}a_{i,0}}$
    écrit par tranches de six chiffres, alors $N$ est divisible par 7 ssi:
    $\sum_{i=0}^{n} (a_{i,0}-a_{i,3}) +3\sum_{i=0}^{n}(a_{i,1}-a_{i,4}) + 2\sum_{i=0}^{n}(a_{i,2}-a_{i,5})$ est divisible par 7.

    Ainsi, 123456789101112131415161718192021222

    donne en adaptant un peu:
    $\displaystyle \begin{pmatrix} + & - \\
    123 & 456 \\
    789 & 101 \\
    112 & 131 \\
    415 & 161 \\
    718 & 192 \\
    021 & 222 \\

    \end{pmatrix} $


    On peut donc évaluer modulo 7 le nombre:

    $A= 2(1 + 7 + 1 + 4 + 7 + 0)
    -2(4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2)
    +3(2 + 8 + 1 + 1 + 1 + 2)
    -3(5 + 0 + 3 + 6 + 2 + 2)
    +(3 + 9 + 2 + 5 + 8 + 1)
    -(6 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2)$

    qui est congru à:
    2 modulo 7 donc mon nombre n'était pas divisible par 7
    N.B. si je lui ajoute 5 (par exemple) maple (je craque) me dit que le résultat est bien divisible par 7.
  • Faire la division:
    123456789101112131415161718192021222 : 7
    sans calculatrice ni ordinateur n'a rien d un exploit à la main avec un crayon et papier :P
  • $A= 2(1 + 7 + 1 + 4 + 7 + 0)
    -2(4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2)
    +3(2 + 8 + 1 + 1 + 1 + 2) - $
    $\qquad\qquad -3(5 + 0 + 3 + 6 + 2 + 2)
    +(3 + 9 + 2 + 5 + 8 + 1)
    -(6 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2)$
  • bonsoir Fin de partie, je suis bien d'accord mais si le nombre comptait 72 chiffres au lieu de 36 le truc de Galax donnerait le résultat en une étape de plus et par contre il faudrait peut-être retailler le crayon pour la division; je n'ai ni une grande culture en arithmétique ni une grande capacité à résoudre les problèmes dits d'arithmétique ni les autres d'ailleurs...(à ce sujet, j'ajoute que l'ennui avec les exercices d'arithmétique est souvent que la difficulté du problème n'est pas en rapport avec la nature de l'énoncé mais qu'inversement l'énoncé est justement facile à comprendre ce qui explique le côté fascinant de cette discipline); par exemple, j'avoue sans honte que le problème n°5 de Galax me laisse perplexe tandis que les précédents étaient dans ma sphère de connaissance. Si j'ai proposé un critère de divisibilité par 7, c'est uniquement parce que cela me semblait sortir des sentiers battus sans être complètement exotique.

    Cordialement,

    Gilles Benson
  • ça ne choque personne que Galax affirme que 54 est divisible par 7 ?
  • moi, je croyais que le problème était de trouver 21 avec 1,5,6 et 7?
  • Bonsoir Sébatiduroc,

    Oui moi ça me choque
    Ca m'apprendra de na pas relire avant poster .
    Mais il faut savoir reconnaitre ses erreurs!...
    mea culpa, mea maxima culpa
    Sincèrement,
    Galax
  • Bonjour,


    Voici une indication pour le problème 5:


    Répondez d'abord à la quesrion: L'ensemble des couples (p,r) est-il fini ou non?


    Je vous rappele son énoncé:

    Montrer que : Si p et q = 2^p + p^2 sont premiers, alors r = 5p + 82 l'est aussi.


    Joyeux Noël à tous.

    Sincèrement,

    Galax
  • La contrainte $p$ et $p^2 + 2^p$ premier implique $p=3$. En effet, on vérifie d'abord que $p=2$ ne convient pas, et, si $p \geqslant 5$, alors $p \equiv \pm 1 \pmod 3$, et, par suite, $p^2 + 2^p \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3$. On conclut alors en notant que $15 \times 3 + 82 = 97$ qui est premier.

    A moi de jouer...

    {\bf Problème 6} (assez facile). Soient $a,b,c,d \in \N^{*}$ tels que $ad=bc$. Montrer que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ n'est pas premier (indication : utiliser $e = \mbox {pgcd}(a,c)$ et les entiers $a'$, et $c'$ définis de manière usuelle par $a=ea'$ et $c=ec'$).

    {\bf Problème 6 bis} (très difficile). Soit $n \in \N^{*}$ et on note $1 = d_1 < d_2 < ... < d_k = n$ les diviseurs de $n$. On note aussi $d_h$ le plus petit diviseur tel que $d_h \geqslant \sqrt n$. Montrer que : $$\sum_{j=1}^{h} d_j \leqslant n \ln 2.$$ A signaler : Zantac m'a apporté une aide sérieuse et efficace quant à l'élaboration finale de cet exercice. Je tenais à l'en remercier ici publiquement.

    (indication : établir d'abord que $h = [k/2] + 1$, où $[t]$ est la partie entière de $t$).

    Borde.
  • Correction : l'indice supérieur de la somme de l'exercice 6 bis est $h-1$ au lieu de $h$. Ainsi, il faut montrer que : $$\sum_{j=1}^{h-1} d_j \leqslant n \ln 2.$$

    Borde.
  • Bonjour,

    Problème 6 : Suivant l'indication, on pose $e= pgcd(a,c)$, et on écrit de manière usuelle $a= ea'$ et $c=ec'$.

    L'égalité $ad=bc$ s'écrit alors, en simplifiant par $e$ :

    $a'd = bc'$ avec $pgcd(a',c') = 1$.

    Par conséquent, $a'$ divise $b$ et $c'$ divise $d$, ce que l'on écrit :

    $b = a'b'$ et $d = c'd'$.

    Puisque $a'd = bc'$, on obtient l'égalité $a'c'd' = a'b'c'$. L'hypothèse $a,b,c,d \in \N^*$ permet de simplifier par $a'c'$ et l'on obtient $d' = b'$.

    On a alors :

    $\Sigma := a^2+b^2+c^2+d^2$
    $= (a'e)^2+(a'b')^2+(ec')^2+(c'd')^2$
    $= (a'e)^2+(a'b')^2+(ec')^2+(c'b')^2$ car $b'=d'$
    $= (e^2+b'^2)(a'^2+c'^2)$

    qui est une factorisation non triviale de $\Sigma$ (par hypothèse, $a,b,c,d \in \N^*$).

    Par conséquent, $\Sigma$ n'est pas premier.

    Cordialement,

    Ritchie
  • Bon, même si le problème 6 bis n'est pas encore résolu, je donne un autre exo :

    Problème 7 : Soit $p$ un nombre premier. Donnez le nombre de solutions de l'équation $x^2+y^2+z^2$ dans $F_p$.

    Indication : On pourra poser $E = (F_p)^3$, et le considérer en tant qu'espace vectoriel sur $F_p$, et considérer un vecteur directeur $v_i$ de chaque sous-espace de $E$ de dimension $1$.
    Que dire alors de la matrice $A= (a_{ij})$ définie par $a_{ij} = 1$ si $ = 0$ (produit scalaire), et $a_{ij} = 0$ sinon?

    Cordialement,

    Ritchie

    PS : oui je sais, la méthode proposée n'est pas de l'arithmétique pure, mais plutôt de l'algèbre linéaire, voire bilinéaire...
  • Bonjour Borde,

    Dans le problème 6,

    $ ad=bc$ permet écrire:

    $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (a^2+2ad + d^2 ) + (b^2 -2bc + c^2) = (a + d)^2 + (b - c ) ^2$

    ce qui me semble interessant.

    Qu'en pense-tu?

    Joyeux Noël.

    Sincèrement,

    Galax
  • Merci Alain, et joyeux Noël...

    Ritchie, je pense que tu parles de l'équation $x^2 + y^2 + z^2 = 0$, non ? En tout cas, bravo pour ta solution du n°6.

    Galax, ce n'est pas idiot, ton idée, mais l'écriture est une somme de 2 carrés qu'il faudrait ensuite factoriser. Tu a aussi sous l'hypothèse $ad=bc$ : $$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 + (2ac + 2bd)^2$$ (voir mon livre page 215).

    Joyeux Noël,

    Quant à l'exo 6 bis, je l'ai juste mis au cas où, mais, si on ne connaît pas le truc, il est vraiment difficile à résoudre.

    Borde.
  • Bonsoir à tous,

    Le pb n°6 = exercice 150 de "1001 problèmes ..." De Koninck-Mercier.

    Le pb n°6bis est une nette amélioration du résultat figurant dans le livre de notre ami, pour une fois questionneur, borde. Dans l'exercice 3.18 de "Thèmes d'Arithmétique ", la majoration est en effet $n-1$.
    Cette majoration égale à $n. ln(2)$ figure-t-elle plus loin dans ton livre ?

    Galax : possèdes-tu une référence pour ton problème n°5 ?

    Demain soir, autour du sapin, j'ai comme l'impression que le Père Noël va m'apporter un beau livre de mathématiques dédicacé.
  • Salut Bernard,

    Cet exercice 6 bis fait efectivement référence à l'exo que tu cites, où je me suis contenté de majorer la somme par $n-1$. Après une discussion avec l'un des relecteurs en charge des exercices, à savoir Zantac (alias Denis Neiter), ce dernier m'a demandé s'il était possible d'améliorer ce résultat sous la forme citée ici. La réponse est positive, mais on remarque qu'elle n'apporte pas grand-chose si l'on considère des valeurs très grandes de $n$, puisque l'on est toujours en $\ll n$. Ce constat, ainsi qu'une grande rigidité concernant le nombre de pages du livre, m'ont décidé à ne pas rajouter cette version dans le livre. Cependant, pour la beauté du geste et de la constante impliquée, je l'ai réservé au forum.

    A noter aussi que : $$\sum_{m \leqslant n} \tau(m) \ll n \ln n,$$ et l'exercice laisserait entendre que les diviseurs $
  • Bonsoir Bs,

    Pour le problème n°5 j'ai vu dans mes notes que : p et q = 2^p + p^2 ne sont premiers que si p = 3... et la suite est facile à construire.

    Voici deux idées qui peuvent servir pour construire des problèmes analogues qui sortent un peu de l'ordinaire :
    Pour quels premiers p, 2p+ 1 et 4p+ 1 sont premiers ?
    ( pense à la divisibilité par 3 )
    Pour quels premiers p, p^2 - 2, 2p^2 - 1 et 4p^2 + 3 sont premiers ?
    ( pense à la divisibilité par 7 ).

    Sinon tu m'as presque donné envie de m'acheter le livre de Koninck-Mercier, quel est son contenu ? Et tes impréssions ?

    Joyeux Noël.
    Sincèrement,
    Galax
  • Galax,

    J'ai résolu ci-dessus le n°5, c'est la raison pour laquelle je me suis permis de mettre le n°6, d'ailleurs...

    Voici un {\bf problème n°7}, sous forme de {\bf Vrai / Faux}, très à la mode au bac S actuellement :

    (a) Soient $a,b \in \N^{*}$ et $p$ premier. Si $a \equiv b \pmod p$, alors $a^p \equiv b^p \pmod {p^2}$.

    (b) Soit $a \in \N^{*}$. Si $31 \mid a^3$, alors $31 \mid a$.

    (c) Soit $a \in \N^{*}$. Si $32 \mid a^3$, alors $32 \mid a$.

    (d) Soit $p$ premier. Le nombre de solutions dans $\N^3$ de l'équation $xyz=p^2$ vaut $6$.

    (e) Soient $a,b \in \N^{*}$ premiers entre eux et $\alpha, \beta, n \in \N$ tels que $n^{\alpha} \equiv 1 \pmod a$ et $n^{\beta} \equiv 1 \pmod b$. Si l'on note $d = \mbox {pgcd} (\alpha, \beta)$, alors on a $n^d \equiv 1 \pmod {ab}$.

    Borde.
  • Lire <B>problème n°8</B> au lieu de problème n°7, car Ritchie a déjà donné un énoncé du problème n°7.
    <BR>
    <BR>Borde.<BR>
  • Comme au bac, je réponds sans justifier au problème 8:

    (a) Vrai

    (b) Vrai

    (c) Faux

    (d) Vrai

    (e) Vrai



    Mais je dis cela à première vue.
  • Bonjour,

    > Ritchie, je pense que tu parles de l'équation $ x^2 + y^2 + z^2 = 0$, non ?

    Tout-à-fait!

    Bon courage à tous,

    Ritchie
  • Bonjour Borde, cf12-24-06 11:13

    D'abord Joyeux Noël
    J'ai bien vu que tu as résolu élégamment le problème 5, mon message du 12-23-06 23:14 n'était qu'une réponse à la question de Bs ( cf12-23-06 18:06) à propos de l'origine de problème.

    ******************
    Sinon voici un lien pour vous divertir :
    <http://myhome.naver.net/hojoolee/pen2005.pdf&gt;
    A noter que le problème difficile que j'ai proposé comme ex-problème 1 y figure comme H 12 à la page 38

    Sincèrement,
    Galax
  • OK, Galax, et joeux Noël...

    OK, Ritchie, et joyeux Noël...Je n'ai pas encore trouvé la solution à ton n°7...

    OK, Toto, et joyeux Noël...Mais que penses-tu de l'exemple $(a,b,n,\alpha,\beta) = (7,11,5,6,5)$ pour le dernier V/F ?

    Borde.
  • Bonjour
    Trop fort pour moi. J'admire Borde qui a vu que l'exo se trouve dans machin et a fait l'objet... Quelle mémoire et quel fichier ! Chapo !
    Cordialement
    Koniev
  • Joyeux Noël, Borde! Et aux autres intervenants également!

    Mon cadeau pour le problème 7 :

    La matrice $A^2$ est de la forme $\lambda I + J$, où $I$ et $J$ désignent respectivement la matrice identité et la matrice avec des $1$ partout.
    Et pour résoudre le problème, il suffit de savoir combien de vecteurs $v_i$ vérifient l'équation de départ...

    Cordialement,

    Ritchie (peut-être plus Père Fouettard que Père Noël avec cet exercice difficile...)
  • Salut Koniev et joyeux Noël...

    Je n'ai pas grand mérite pour l'exo que tu cites, puisqu'il me semble que Yalcin l'avait déjà posé ici il y a quelques temps...

    Ritchie, j'essaie (en vain) pour l'instant, une démo arithmétique...

    Borde.
  • C'est vrai que ça m'intéresserait grandement, une preuve arithmétique.
    Celle que je connais, c'est plus algèbre linéaire + un soupçon de combinatoire.

    Ritchie
  • Bonjour,
    <BR>
    <BR>Merci Olivier pour ces précisions concernant l'exo 6bis ; j'attends sereinement la preuve, ou des indices, via le forum...
    <BR>
    <BR>Galax :
    <BR>merci pour tes tuyaux;
    <BR>concernant le De Koninck-Mercier :
    <BR>Les pbs sont répartis en 14 chapitres différents:
    <BR>combinatoire, divisibilité, nombres premiers, représentation des nombres, congruences, tests de primalité, partie entière, fonctions arithmétiques, équations avec fonctions arithmétiques, nombres spéciaux, équations diophantiennes, réciprocité quadratique, fractions continues, classification des nombres réels.
    <BR>Que du bonheur !
    <BR>
    <BR>Quant à mes impressions, lis plutôt celles d'un éminent spécialiste.
    <BR>
    <BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=210946&t=210862#reply_210946"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=210946&t=210862#reply_210946</a&gt;
    <BR>
    <BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=260806&t=260616#reply_260806"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=260806&t=260616#reply_260806</a&gt;
    <BR>
    <BR>Super réveillon à tous !<BR>
  • Ah oui, le 6 bis, je l'avais oublié...Utilise $\displaystyle {d_j \leqslant \frac {n}{k+1-j}}$ valable pour tout $j=1,...,k$ (voir mon livre exercice 3.19).

    Et joyeux Noël !

    Borde.
  • Voici ma contribution actuelle pour l'exercice n°7 de Ritchie dont je rappelle l'énoncé : {\it soit $p$ premier. Quel est le nombre $\mathcal {N} = \mathcal {N}_p$ de solutions (dans $\mathbb {F}_p$, s'entend...) de l'équation $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0 \pmod p$} ?

    1. Des calculs sur ordinateurs laissent espérer que $\mathcal {N} = p^2$.

    2. Le fait suivant est connu : $p \mid \mathcal {N}$. Ce résultat, dont la démonstration s'appuie sur le théorème de Chevalley, est général : si $f(x_1,...x_n)$ est un polynôme entier de degré $< n$, alors le nombre de solutions de l'équation $f \equiv 0 \pmod p$ est multiple de $p$.

    3. Dans la suite, on note $\chi_p = (./p)$ le symbole de Legendre modulo $p$ (ie l'unique caractère primitif de Dirichlet modulo $p$).

    Notons d'abord que le nombre de solutions de l'équation $a+b+c \equiv 0 \pmod p$ est exactement $p^2$, car les $p^2$ choix de $a,b$ conditionnent l'unique représentant de $-a-b \pmod p$ pour $c$.

    Pour simplifier, je note $N(x^2 \equiv y)$ le nombre de solutions de l'équation $x^2 \equiv y \pmod p$ et $E = \{0,...,p-1\}$. Ainsi, on a : $$\mathcal {N} = \sum_{a,b,c \in E^3, \,a+b+c \equiv 0 \pmod p} N(x^2 \equiv a) \times N(x^2 \equiv b) \times N(x^2 \equiv c) = \sum_{a,b,c \in E^3, \,a+b+c \equiv 0 \pmod p} (1 + \chi_p(a))(1 + \chi_p(b))(1 + \chi_p(c)),$$ et la majoration triviale et le résultat précédent conduisent à $\mathcal {N} \leqslant 8 p^2$.

    Voilà où j'en suis pour l'instant...Quelqu'un a-t-il mieux ?

    Borde.
  • <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><TABLE CELLPADDING="0" WIDTH="100%" ALIGN="CENTER"><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="18" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/25/105424/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline \mathcal {N}$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="381" HEIGHT="84" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/25/105424/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle = \sum_{\substack{a,b,c \in E^3\\ a+b+c \equiv 0 \pmod p}} N(x^2 \equiv a) \times N(x^2 \equiv b) \times N(x^2 \equiv c)$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="3" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/25/105424/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP ALIGN="LEFT"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="355" HEIGHT="84" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/25/105424/cv/img4.png&quot; ALT="$\displaystyle = \sum_{\substack{a,b,c \in E^3 \\ a+b+c \equiv 0 \pmod p}} (1 + \chi_p(a))(1 + \chi_p(b))(1 + \chi_p(c))
    \newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR></TABLE></DIV><BR CLEAR="ALL"><P></P><BR>
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