Q-linéairement indépendant

Bonjour,

Voilà je bute sur un problème assez intuitif mais il me semble difficilement résoluble avec toute la rigueur nécessaire à un petit exo de maths...

Il s'agit de montrer que (1,2^(1/3),2^(2/3)) est Q-linéairement indépendant..
Aucune envie a priori de chercher directement une contradiction en posant a, b,c ect ect...
Alors j'ai reformulé en montrer qu'il n'existe pas de polynomes de degré 2 de Z[X] à coeff tous non nuls, tel que 2^(1/3)...Je m'amuse ensuite avec des relations coeff/racines mais sans grand succès...

Ainsi, toute aide sera la bienvenue...

Merci d'avance pour vos contributions à ce fil,

Réponses

  • Bonjour,

    Si tu connais la notion de polynôme minimal, c'est très simple.
    Il suffit, en effet, de remarquer que le polynôme $X^{3}-2$ est irréductible sur $\Q$ (utiliser le critère d'Einseinstein) et que $\alpha:=^{3}\sqrt{2}$ est l'une de ses racines. C'est donc le polynôme minimal de $\alpha$ sur $\Q$. Donc, il n'existe pas de triplet $(a,b,c)\in\Q^{3}-\{(0,0,0)}$ tel que $a+b\alpha+c\alpha^{2}=0$.

    Amicalement.
    Olivier.
  • hélàs, je ne connais pas le critère d'Eiseinstein, et le seul polynome minimal que je connais est celui des matrices...
    Mais je vais me renseigner de ce pas, sur Eiseinstein, en espérant pouvoir y comprendre qq chose...

    Merci (quand même) Olivier...!!

    Cependant si qq a une solution un peu plus à ma portée...
  • Quelques indications:

    Alors, le premier truc est de pose $\alpha=\sqrt[3]{2}$, car je n'ai pas envie de me trimballer des racines cubiques partout.



    $1)$ $\alpha\neq\Q$.
    Suppose que $\alpha=\frac{p}{q}$ ($p,q$ premiers entre eux. Alors $p^3=2q^3$.

    Je te laisse conclure par un petit raisonnement d'arithmétique que ce n'est pas possible.


    $2)$ Supposons que $a+b\alpha+c\alpha^2=0$.
    Alors $c\neq 0$ car sinon, $\alpha$ serait rationnel.

    Par division euclidienne, on a une égalité
    $$X^3-2=(a+bX+cX^2) Q(X)+ d+eX.$$
    Le reste est bien de degré inférieur ou égal à 1 car $c\neq 0$.

    On remplace $X$ par $\alpha$ et on en conclue $d=e=0$ pourquoi?).

    Donc $X^3-2=(a+bX+cX^2)Q(X)$ . Mais $Q$ est de degré $1$, donc $X^3-2$ a une racine de $\Q$.

    $3)$ Conclusion?

    Greg

    Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
  • 1/ pour montrer l\'irrationnalité:
    je trouve plus simple d\'utiliser le petit résultat suivant $\forall P \in Z[X] P(\alpha)=0 \Rightarrow \alpha \in \N$ ou$ \R - \Q$

    2/en remlacant par $\alpha$ on a $\alpha*e+d =0$ et en utilisant la remarque que tu as fait en 1/ si d et e sont non nuls, cela contredit l\'irrationnalité de $\alpha$ concl: d=0 et e=0 .

    mais je comprends pas la dernière implication qui dit que $\ X^3-2$ a une racine dans Q...

    en admettant cela, on contredirait l'irrationnalité de $\alpha$
  • en fait j'ai compris...autaunt pour moi je suis a vrai dire assez lent:

    mais Q est dans Z[X] de degré 1 donc forcement sa racine est rationnelle...

    merci infiniment GreginUK
  • Bonjour,

    "je trouve plus simple d\'utiliser le petit résultat suivant $\forall P \in \Z[X] P(\alpha)=0 \Rightarrow \alpha \in \N$ ou $ \R - \Q$".

    Je pense que tu fais référence au résultat suivant :

    Soit $P \in \Z[X]$ \bf{unitaire}. \rm{Les racines rationnelles de $P$ sont alors dans $\Z$}.

    Cordialement,

    Ritchie
  • Oui Ritchie, j'ai oublié l'hypothèse d'unitaire...autant pour moi
  • ci-jointe , une reponse plus generale

    Qindependance.png
    [Ce n'est pas net, mais l'original non plu :(.
    Si nécessaire, on peut lire le lien et zoomer dessus. AD]
  • La démonstration de ce "petit" résultat, corrigée par Ritchie, ne diffère pas vraiment essentiellement du raisonnement arithmétique proposé par Greg. Je crois qu'il ne faut pas mettre ce dernier aux oubliettes.

    Borde.
  • de taille plus raisonnable5418
  • Tout-à-fait d'accord. Et c'est en pratique généralement très utile.

    Ritchie
  • en tout cas ce petit exo m'a permis de passer mon dimanche sur des notions d'irreductibilité de polynomes qui m'étaient alors totalement inconnu, du coup j'ai un peu délaissé mes maths scolaires!!!!

    merci encore pour vos indications...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.