suite récurrente

pB0

bonjour
voilà j'aimerais savoir si on peut avancer dans l'étude de cette suite décroissante et divergente dans le sens d'une expression explicite

u(0) = e -1
u(n+1)= (n+1)*u(n) -1

autre pb sur ce sujet c'est l'étude si on prend pour premier terme
u(0) + epsilon

merçi pour les idées

bonne journé

whiteblack0

c clair j'iamerai bien savoir ca

Richard André-Jeannin1

l'étude des premiers termes permet de penser qu'il existe une suite a(n) telle que:
u(n)=n!*e-a(n), avec a(0)=1.
En reportant dans la récurrence, on voit que:
a(n+1)=(n+1)a(n)+1.
En posant b(n)=a(n)/n!, on obtient:
b(n+1)=b(n)+1/(n+1)!, ce qui entraîne que:
b(n)=1+1/1!+1/2!+...+1/n!,
et a(n)=n!*(1+1/1!+1/2!+...+1/n!),
d'où:

u(n)=n!*(e-(1+1/1!+1/2!+...+1/n!)).

Richard André-Jeannin1

Posons S(n)=+1/1!+1/2!+...+1/n! (somme partielle du développement de e).
Un raisonnement classique montre que:
0<=e-S(n)<=1/(n*n!).
Donc:
0<=u(n)<=n!/(n*n!)=1/n, ce qui montre que u(n) tend vers 0.

L'écriture de la suite avec Excel (en utilisant la suite récurrente)montre une concordance avec l'expression explicite pour les premiers termes, puis les termes tendent vers -00. Je suppose qu'il s'agit d'un problème d'arrondi comme il en existe souvent avec les calculatrices.

Marc.0

Maple donne comme solution:
$$u(k) = e \left( \Gamma(k+1)-\Gamma(k+1, 1) \right)$$

Richard André-Jeannin1

Notons ep=epsilon.
Soit v(n) une suite telle que
v(0)=u(0)+ep=(e-1)+ep
et: v(n+1)=(n+1)v(n)-1
On vérifie facilement par récurrence que:
v(n)=u(n)+n!*ep.
On en déduit que v(n) tend vers plus ou moins l'infini (selon le signe de ep) car u(n) tend vers 0.
Ceci explique qu'un logiciel comme Excel donne une suite divergente (la condition initiale u(0)=e-1 se traduit en pratique par (e-1)+ep).

pB0

merci Richard t'es un crac

Richard André-Jeannin1

On peut essayer de simplifier la présentation:
Soit u(n) une suite définie par la donnée de u(0) et la récurrence:
u(n+1)=(n+1)u(n)-1.
Définissons v(n) par v(n)=u(n)/n!. On a v(o)=u(0) et, en divisant la récurrence précédente par (n+1)!:
v(n+1)=v(n)-1/(n+1)!. On en déduit par addition que:
v(n)=u(0)-T(n), avec:
T(n)=(somme de k=1 à n)1/k!
On a donc:
u(n)=n!*(u(0)-T(n)).
Lorsque n tend vers +00, T(n) tend vers e-1 et la suite u(n) peut converger seulement si u(0)=e-1. Dans ce cas la convergence est assurée par la relation rappelée plus haut:0<=e-1-T(n)<=1/(n*n!).