Cours d'intégration sur ce site

Mathieu

Bonjour,


Dans le cours sur la théorie de lebesgue disponible sur ce site (http://www.les-mathematiques.net/pages/download.php3?id=48), il y a qqch dont je ne comprend pas:

Au chapitre 2, definition 18, on dit qu' une fonction peut admettre une intégrale bien qu' elle ne soit pas intégrable.
Ce qui me chagrine c' est ce qu' il y a écrit en dessous:
Il est écrit: qu' une fonction non intégrable admettant une intégrale a une intégrale qui vaut alors +oo ou -oo

Si on prend par exemple $\frac{sin\,x}{x}$ alors, cette fonction n' est pas intégrable sur [0,+oo[ mais admet pourtant une intégrale ... finie

egoroff

Attention Mathieu il ne faut pas tout confondre. Dans la théorie de la mesure générale on ne sait pas intégrer des fonctions du style $\sin x / x$, parce qu'il n'y a pas a priori d'ordre qui permettrait un passage à la limite comme dans les intégrales généralisées de Riemann. Donc pas de semi-convergence. Les seules fonctions auxquelles on peut associer une intégrale sont :
- les fonctions positives ; cette intégrale peut être finie ou infinie.
- les fonctions intégrables, c'est-à-dire les fonctions dont la valeur absolue est une fonction positive d'intégrale finie ; dans ce cas on fait la différence $\int f^+ - \int f^-$.
- à la limite on pourrait, lorsque $\int f^+ = + \infty$ et $\int f^- < +\infty$, poser $\int f = +\infty$ mais à ma connaissance on ne le fait pas.


Dans le cas de $\sin x / x$ les intégrales de $f^+$ et de $f^-$ sont infinies. A priori il n'ya aucun moyen de former la différence. Et c'est plus profond que ça : l'intégrale au sens de Riemann de cette fonction est la somme d'une série semi-convergente. On sait qu'on peut réarranger les termes d'une telle série pour obtenir n'importe quelle somme, finie ou infinie. Donc en réarrangeant les arches de $\sin x / x$ on peut obtenir une fonction dont l'intégrale au sens de Riemann vaut n'importe quel réel, ou même $\pm \infty$.


Ceci est totalement incompatible avec la philosophie "espace mesuré" de l'intégration de Lebesgue, où l'intégrale ne doit dépendre que de la taille des arches et pas de leur position. Plus précisément, la transformation $T$ qui consiste à permuter les arches est une bijection bi-mesurable de $\R_+$ dans lui-même qui préserve la mesure, i.e. pour tout borélien $B$ on a $\lambda(T(B))=\lambda(B)$, dans ce cas l'intégrale de $f \circ T$ soit être la même que celle de $f$ (c'est grosso modo le théorème de transfert).

The Bridge

Mathieu,

$\frac{sin\,x}{x}$ est intégrable dans un certain sens cependant elle n'est pas intégrable au sens de Lebesgue car ce n'est pas une fonction absolument intégrable.

En effet, une fonction est Lebesue intégrable si et seulement si sa valeur abolue est Lebesgues intégrable.

Cela t'éclaire-t-il?

Mathieu

Ca m' éclaire ... un peu oui, mais j' ai encore bcp de boulot sur l' intégrale de lebesgue moi...

En fait, l' intégrale de Riemann généralisée n' a pas grand chose à voir avec l' intégrale de Lebesgue ?
Parceque dans un segment, l' intégrale d' une fonction riemann intégrable correspond à l' intégrale de cette fonction au sens de lebesgue?

Dans le cas d' une intégrale sur un intervalle, si une fonction est intégrale au sens "Riemann généralisé" alors est intégrable au sens de lebesgue
Mais si cette fonction sur l' intervalle, est seulement semi-convergente (au sens riemann), alors elle est n' est pas intégrable au sens de lebesgue ?
Une fonction admettant une intégrale au sens de Riemann n' admet pas forcément une intégrale au sens de Lebesgue

Donc en fait, $sin x / x$ admet une intégrale au sens de Riemann, mais pas au sens de Lebesgue ... sur l' intervalle non borné [0, +oo[

Donc en fait, les théorèmes sur la théorie de l' intégration de Riemann sont encore valable pour la théorie de lebesgue lorsqu' on reste dans un segment. Mais si on passe aux intégrales généralisées, ca n' a plus rien à voir?