Composantes connexes

Mathieu

Re bonjour,

Je considère l' ensemble $E = {(x,y) \in \R^2 , x \neq y}$

Et je me demande quelles sont ses composantes connexes.
Il est clair que ce la 1ere est la partie au dessus de la premiere bissectrice et la 2nde celle en dessous. Oui, mais voila, comment le montre-t-on rigoureusement ?
Ce sont 2 parties connexes, mais ... pourquoi ce sont les composantes connexes ? Pourquoi ne peut t-on pas avoir un connexe plus grand ... ? Comment arriver à le montrer ?

Une autre question provient de celle ci: si on a une partition d' un ensemble en parties connexes, sont-elles directement les composantes connexes ?

Merci d' avance.

arno_nora

<!--latex--><a href = "http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=336098&t=335997#reply_336098"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=336098&t=335997#reply_336098 </a>
<BR>Regarde ce lien d'abord, il y a sûrement la réponse à tes questions

Gilles Benson0

tout connexe par arc est connexe donc tout convexe est connexe et un demi-plan est convexe donc...

corentin

Comme tu l'as dit ces deux parties sont connexes.
Mais inversement, elles forment une partition de $E$ en deux ouverts, donc $E$ n'est pas connexe.
Donc $E$ admet au moins deux composantes connexes disjointes, et vu que tu en a deux qui recouvrent tout $E$, il y en a exactement deux et ce sont celles que tu as trouvé.
Autre argument: un ouvert connexe est connexe par arc, si on a un connexe contenant un demi plan et un autre point, on joint un point du demi plan à cet autre point: soit $(\gamma_1(t),\gamma_2(t))$ le chemin qui les relie, alors $\gamma_1-\gamma_2$ change de signe donc s'annule donc on rencontre la droite $x=y$ et c'est absurde. Cette solution là est plus intuitive (si on avait un demi plan et un peu plus, on aurait un bout de la droite) mais quand même un peu naze.

Mathieu

Merci mais:

Si $E$ est une réunion disjointe d' ouverts connexes, ceux ci sont automatiquement les composantes connexes ?

Et si $E$ est une réunion disjointe de fermés connexes ?

Et si $E$ est une réunion disjointe de connexes (sans supposer qu' ils soient ouverts ou fermés) ?

Mathieu

Merci mais:

Si $E$ est une réunion disjointe d' ouverts connexes, ceux ci sont automatiquement les composantes connexes ?

Et si $E$ est une réunion disjointe de fermés connexes ?

Et si $E$ est une réunion disjointe de connexes (sans supposer qu' ils soient ouverts ou fermés) ?

corentin

Oui aux deux premières questions.
Si $E$ est une réunion disjointe d'ouverts connexes $\bigcup E_i$. Soit $x\in E_1$, sa composante connexe contient évidemment $E_1$. Si on avait aussi disons $\bigcup E_{k_i}$, on aurait une partition de cette composante connexe en deux ouverts disjoints ce qui serait absurde. (même raisonnement avec des fermés)

Contre exemple pour la troisième $[0,1[\cup [1,2]$.

Mathieu

Merci bcp.

En fait si $E$ ensemble
Et si on a une partition de $E$ en connexes. Soit ils sont tous fermés dans $E$ et dans ce cas ce sont les composantes connexes. Soit non, et dans ce cas ca ne peut être les composantes connexes car toute composante connexe de $E$ est fermée dans $E$

Mathieu

J' y pense, cette réunion disjointe doit-elle être fini ?

si $E$ est une réunion disjointe infini de connexes fermés de $E$, est-ce que ce sont encore les composantes connexes ?
si $E$ est une réunion disjointe infini de connexes ouverts de $E$, est-ce que ce sont encore les composantes connexes ?

La démonstration que j' ai faite ne fonctionne que dans le cas fini, c' est pour ca.

Mathieu

Encore une chose:

$\R = \cup _ {x\in \R} {x}$

${x}$ est un fermé connexe de $\R$
${x} \cap {y} = \emptyset $ si $x \neq y$

Donc, les singletons sont les composantes connexes de $\R$ ????
Pb...

Faut - il que la réunion soit finie, dénombrable ?

egoroff

Salut,

Ca fonctionne avec des fermés connexes de complémentaire fermé. Par exemple s'ils sont en nombre fini le complémentaire est automatiquement fermé comme union finie de fermés.

Cette condition suffisante n'est pas nécessaire : dans $\Q$, les composantes connexes sont les singletons mais leur complémentaire n'est pas fermé.

Archimède

Notons $A=\{(x,y)\mid x>y\}$, $B=\{(x,y)\mid x

Mathieu

Merci bcp

Donc pour résumer:
si $E$ est une réunion disjointe fini de connexes fermés de $E$, ce sont encore les composantes connexes
si $E$ est une réunion disjointe fini de connexes ouverts de $E$, ce sont les composantes connexes

si $E$ est une réunion disjointe infini de connexes fermés de $E$ tq leur complémentaire soit fermé, ce sont encore les composantes connexes
si $E$ est une réunion disjointe infini de connexes ouverts de $E$ tq leur complémentaire soit ouverts, ce sont encore les composantes connexes

Mathieu

Personne pour confirmer ou infirmer?

egoroff

Je peux déjà infirmer l'orthographe : "fini" et "infini" sont des adjectifs, donc ils prennent un -e lorsqu'ils qualifient le nom féminin "réunion".

Mathématiquement, je n'ai aucun problème avec les trois premiers (si ce n'est qu'il faut rajouter "non vides" partout) mais je ne suis pas sûr pour le dernier. Pour commencer si l'espace est partitionné en ouverts, alors le complémentaire d'un ouvert donné est ouvert aussi comme union d'ouverts, et donc la dernière hypothèse est redondante. Mais comme je ne trouve pas de contre-exemple je me dis que ça doit être vrai. Attendons l'avis d'un spécialiste.

Mathieu

Je n' ai pas non plus trouvé de contre exemple

gb0

Je ne vois pas le distinguo subtil entre les propositions 1 et 2 d'une part, 3 et 4 d'autre part :
"$A$ est ouvert" est équivalent à "le complémentaire de $A$ est fermé"
"le complémentaire de $A$ est ouvert" est équivalent à "$A$ est fermé"

Donc des parties ouvertes telles que leurs complémentaires sont ouvertes, c'est la même chose que des parties fermées telles que leurs complémentaires sont fermés.

cyrille

bonjour,

de manière générale si on a une partition stricte de E en ouverts connexes ( en nombre fini ou infini ) alors ces ouverts sont les composantes connexes de E.

Afin d'éviter tout malentendu, j'appelle partition stricte ce que certains appellent partition... ( pas de partie vide et union disjointe )

Mathieu

Daccord merci bcp